卡方分布
贡献者： addis
- 本文处于草稿阶段。
1. 卡方分布
图 1：卡方概率密度函数（式 1 ），来自 Wikipedia
1卡方分布为（可以认为 $x<0$ 时函数值为零）
\begin{equation}
f_k(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1} \mathrm{e} ^{-x/2} \qquad (x > 0)~
\end{equation}
累计分布函数为（Matlab 的 gammainc(x/2,k/2)）
\begin{equation}
F_k(x) = \int_0^{x} f_k(t) \,\mathrm{d}{t} = \frac{\gamma(k/2, x/2)}{\Gamma(k/2)}~,
\end{equation}
2. 检验是否符合指定一维分布
若要检验 $N$ 次试验中，某分布是否符合指定分布。把随机变量划分成 $k$ 个区间，落入每个区间的数量是 $f_i$，$\sum f_i = N$。指定分布在每个区间的概率为 $p_i$，那么 $f_i/N$ 应该接近于 $p_i$，可以用以下函数判断有多接近
\begin{equation}
\sum_{i=1}^k C_i \left(\frac{f_i}{N} - p_i \right) ^2~,
\end{equation}
\begin{equation}
\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{N}{p_i} \left(\frac{f_i}{N} - p_i \right) ^2 = \sum_{i=1}^k \frac{f_i^2}{Np_i} - N~.
\end{equation}
对于显著水平（significance level） $\alpha$，当 $\chi_{\alpha}^2(k-1)$ 时就接受假设。其中 $\chi_{\alpha}^2(k-1)$ 满足
\begin{equation}
1 - F_{k-1}(\chi_{\alpha+}^2(k-1)) = \int_{\chi_{\alpha}^2(k-1)}^\infty f_{k-1}(x) \,\mathrm{d}{x} = \alpha~.
\end{equation}
$\alpha$ 被称为 $p$ 值。
图 2：临时例题（待删除）
3. 检验两个变量的独立性
\begin{equation}
\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} \frac{N}{p_ip_j} \left(\frac{f_{ij}}{N} - p_ip_j \right) ^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} \frac{f_{ij}^2}{Np_ip_j} - N~.
\end{equation}
未完成：补充详细