多项式环

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 一元多项式,欧几里得环

1. 多项式环

  1我们知道,函数是一种映射,特指 “值域是数字集合” 的映射.这里的 “数字集合”,通常指任何一个环,换句话说,只要是个环,其元素都可以被视为 “数字”.我们熟悉的整数环、有理数域2、实数域、复数域等都是很好的例子.

   多项式就是一种极为重要的函数.在微积分中,性质良好的函数(解析函数)都可以被表示为一列多项式函数的极限,或者说总可以用一个多项式函数来逼近它.而多项式的性质较为简单,求导也很容易.我们现在讨论的是代数,所以就不关心可以怎么用求导啊积分啊等手段去处理多项式函数,而是关心这个概念可以怎么在代数上拓展.

   先来观察一下我们熟知的多项式吧.作为实变量函数,一个多项式 $f(x)$ 可以表示为:

\begin{equation} f(x) = \sum_{i=0}^N a_i x^i \end{equation}
其中各 $a_i$ 都是实数,而 $x^i$ 是用来抽象表示 “任意自变量” 的.我们可以给 $x$ 赋值,比如取一个实数 $c$,然后令 $x=c$,这样就能得到一个实数$f(c)=\sum_{i=0}^N a_i c^i$.但要是不赋值,那 $f(x)$ 就不是一个具体的数,而是一个映射;$x$ 只是一个抽象符号.

   两个多项式之间根本的不同,体现在哪里呢?是抽象符号吗?显然不是.$x^2+1$ 和 $y^2+1$ 完全可以视为同一个多项式,用的符号3不同而已.决定两个多项式差异的,是多项式的系数,对吧?$x^2+1$ 和 $x^2+3$ 就不是同一个多项式.很明显,我们应该拓展的是系数的概念.

定义 1 

   设 $R$ 是一个环,$x$ 是一个抽象符号.则形如

\begin{equation} f(x) = \sum_{i=0}^N a_i x^i \end{equation}
的表达式称为环 $R$ 上的(一元)多项式(polynomial),其中各 $a_i\in R$,称为该多项式的系数(coefficient).$a_i x^i$ 称为 $f(x)$ 的 $i$ 次项(item),或者一个单项式,$i$ 称为其次数(degree)

   全体以 $x$ 为抽象符号的一元多项式构成的集合,记为 $R[x]$4.$R$ 称为 $R[x]$ 的系数环;如果 $R$ 是个域,也称之为系数域

   类似地,设各 $x_k$ 都是抽象符号,那么形如

\begin{equation} f(x_1, x_2, \cdots, x_m) = \sum_{k_1+k_2+\cdots k_m=0}^N a_{k_1, k_2, \cdots, k_m} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m} \end{equation}
的表达式称为环 $R$ 上的$m$ 元多项式(polynomial),其中各 $a_{k_1, k_2, \cdots, k_m}\in R$,称为其系数.每个 $a_{k_1, k_2, \cdots, k_m} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$ 是该多项式的一个 $k_1+k_2+\cdots k_m$ 次项.

   多项式中最高次的单项式的次数,称为该多项式的次数(degree).特别的例外是,$ \operatorname {deg}0 = -\infty$.多项式 $f(x)$ 的次数记为 $ \operatorname {deg} f(x)$.在不至于混淆的情况下,也可以简单地用 $f$ 来表示多项式 $f(x)$ 或 $f(x_1, x_2, \cdots, x_m)$.

定义 2 

   设 $f(x)\in R[x]$,$g(x_1, x_2, \cdots, x_m)\in R[x_1, x_2, \cdots, x_m]$.

   如果 $r\in R$ 满足 $f(r)=0$,则称 $r$ 是 $f$ 的一个根(root).如果数组 $\{r_1, r_2, \cdots, r_m\}$ 满足 $g(r_1, r_2, \cdots, r_m)$,则称该数组是 $g$ 的一个

   举几个例子.$x^2y+xy+y^3+2y$ 是一个整数环上的二元三次多项式,其中 $x^2y$ 和 $y^3$ 是其 $3$ 次项.

   我们常会用到 “多项式环” 这一术语,这是因为环上的全体多项式构成的集合 $R[x]$,还真就是一个环.

习题 1 

   给定环 $R$ 和一个抽象符号 $x$.证明:$R[x]$ 构成一个环.

   $R[x]$ 上加法和乘法的定义5:同类单项式(即仅系数不同的单项式)之间的加法定义为以其系数相加的结果为系数的同类单项式,乘法类似地定义为系数的乘法;多项式乘法由单项式加法、乘法以及乘法对加法的分配律定义.

   类似地,也可以证明多元多项式的集合构成一个环.

   显然,$R$ 可以看成是全体零阶多项式构成的集合:

习题 2 

   给定环 $R$,则 $R$ 是 $R[x]$ 的子环.

   上面说了那么多,我一直在强调 $x$ 是 “抽象符号”.作为实变量函数的多项式,可以把抽象符号替换为实数来赋值,一般的环上当然也可以这么做.设 $f$ 是环 $R$ 上的一元多项式,那任取一个 $r\in R$,依然有 $f(r)\in R$.

2. 域上的多项式除法

  6设 $f(x)$ 是一个多项式,那么使得 $f(r)=0$ 的 $r$ 就被称为这个多项式的根(root).根的性质决定了多项式的性质.为了理解这一点,我们要先讨论一下多项式之间的除法.不过要注意的是,我们这里要讨论的是域上的多项式除法,也就是系数选自域中,而不只是一个环中.尽管如此,多项式构成的集合依然只是一个环.

   由于环没有要求乘法逆元存在性,故除法并不总是可行的.比如 $5/2$ 的结果就不在整数环中,尽管 $5$ 和 $2$ 都是整数.但是也正因为这样,环上诞生了独特的 “带余除法”,对,就是小学学过的 $5/2=2\cdots 1$.但是 $a/b=c\cdots r$ 的表述方法挺累赘的,不如写成 $a=bc+r$ 好了,$a$ 是被除数,$b$ 是除数,$c$ 是商,$r$ 是余数.

   尽管上述讨论中的 $a, b, c, r$ 都是整数,我们也可以把这个概念移植到一般的环上.在稍后我们会讨论的 “欧几里得环” 中,这种带余除法非常重要,但现在我们就着眼于多项式环即可.

   考虑环 $R$ 上的多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$,则总存在 $h(x)$ 和 $r(x)$7,其中 $ \operatorname {deg}r\leq \operatorname {deg}g$,使得 $f(x)=h(x)g(x)+r(x)$.这就是多项式之间的除法.如果遇到 $r(x)=0$ 的情况,那么就说 $g$整除$f$,记为 $g|f$.

   域上多项式的根可以用来拆分这个多项式:

定理 1 

   给定域 $\mathbb{F}$ 上的一个多项式 $f(x)$.如果 $r\in R$ 是 $f$ 的一个根,那么 $(x-r)|f(x)$.

   证明

   存在 $h(x), s(x)\in\mathbb{F}[x]$,使得 $f(x)=h(x)\cdot(x-r)+s(x)$,且 $s(x)$ 的次数小于 $1$.这样一来,$s$ 实际上就是 $\mathbb{F}$ 的一个元素.将 $r$ 代入 $x$,得到 $0=f(r)=h(r)\cdot(r-r)+s$,因此 $s=0$.故得证.

   证毕

   如果环 $R$ 上的多项式 $f(x)$ 可以表示为两个多项式的乘积 $h(x)g(x)$,或者说它可以被另一个次数为正的多项式整除,那么我们就说这个多项式是可约(reducible)的,而 $h$ 和 $g$ 就被称为其因子;否则,称 $f$ 是不可约(irreducible)的.这样,我们只需要研究好其因子的性质,就能方便地推知 $f$ 本身的性质.又由于定理 1 ,多项式的性质归根到底由根来决定——如果根存在的话.

   现在,我们引入一个实际计算多项式除法的方法,称为长除法,用表格表示.为方便理解,我们直接用一个具体实例来讲解:在整数环上,用 $2x^2+1$ 去除 $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$.

   第一步,是比较两个多项式的最高次项,即 $2x^2$ 和 $6x^5$,然后凑一个 $3x^3$,比较 $(2x^2+1)\cdot(3x^3)$ 和 $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$ 的差,得到 $x^4-x^3-x^2-2$.整个过程表示如下:

表1:
$3x^3$
$2x^2+1$ $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$
$x^4-x^3-x^2-2$

   然后,再考虑剩下的 $x^4-x^3-x^2-2$ 被 $2x^2+1$ 除:

表2:
$3x^3+0.5x^2$
$2x^2+1$ $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$
$x^4-x^3-x^2-2$
$-x^3-1.5x^2-2$

   以此类推,最终使被除多项式的次数小于 $2x^2+1$ 的次数:

表3:
$3x^3+0.5x^2-0.5x-0.75$
$2x^2+1$ $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$
$x^4-x^3-x^2-2$
$-x^3-1.5x^2-2$
$-1.5x^2+0.5x-2$
$0.5x-1.25$

   于是我们就得到了

\begin{equation} \begin{aligned} &6x^5+x^4+2x^3-x^2-2 \\ = &(3x^3+0.5x^2-0.5x-0.75)(2x^2+1)+(0.5x-1.25) \end{aligned} \end{equation}

   我们所求的有效信息在表 3 的最上方和最下方,即 “商数” 和 “余数”,而第二行则是已知的信息.剩下的部分全都是中间计算过程,算完以后就不用再关心了.

   从运算过程你也可以看出来,为什么我们之前要求讨论范围是 “域” 上的多项式.除法的概念是可以局限在 “环” 上的多项式来讨论的,也依然可以使用长除法来计算,但就没法用到 $0.5$ 这样的元素,也就无法保证余的次数比除数要小了.

3. 最小多项式

  8我们之前讨论的多项式 $f(x)$ 中,$x$ 是一个抽象的符号,因此多项式是一种 “表达式”.如果给 $x$ 赋值为元素 $r$,那么 $f(r)$ 就也是一个 “域中的元素”.现在考虑一个情况:如果用不属于系数域的元素 $r$ 给多项式赋值呢?会得到什么?

   这个问题并不难理解,但是抽象的讨论会很麻烦,我们不如从具体例子入手:

例 1 

   考虑有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的多项式环 $\mathbb{Q}[x]$.令 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 是给 $\mathbb{Q}[x]$ 中所有多项式的自变量 $x$ 都赋值为 $\sqrt{2}$ 后所得结果的集合.容易证明,$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{ a+b\sqrt{2}|a, b\in\mathbb{Q} \}$.

   这个 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 显然是个环,但和 $\mathbb{Q}[x]$ 不是同构的9

   我们不能说 $f(\sqrt{2})$ 都是抽象的 “表达式”,因为当 $f(x)=x^2$ 的时候,$f(\sqrt{2})$ 是一个 $\mathbb{Q}$ 中的元素.当 $f(x)=x^4$ 的时候也一样.可是 $\sqrt{2}$ 本身不在域 $\mathbb{Q}$ 中,在 $\mathbb{Q}$ 看来就是一个 “不知道哪儿来的” 元素,好像和 “抽象符号” 一样嘛.

   那么 $\sqrt{2}$ 和抽象符号 $x$ 到底有什么不同呢?抽象符号只是个符号,构成的是 “表达式”,但 $\sqrt{2}$ 有一个性质:$(\sqrt{2})^2=2\in\mathbb{Q}$.这个性质就是其核心.

定义 3 

   考虑域 $\mathbb{F}$.设 $a$ 是一个元素,不一定在域 $\mathbb{F}$ 中.如果多项式 $f(x)\in\mathbb{F}[x]$ 能使得 $f(a)=0$,则称 $f$ 是 $a$ 的一个零化多项式(null polynomial).$a$ 的所有零化多项式中,次数最低的那个,称为其最小多项式(minimal polynomial)

   根据定义,最小多项式必然是给定域上的不可约多项式.

   $\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中的最小多项式就是 $x^2-2$,在 $\mathbb{R}$ 中的最小多项式则是 $x-\sqrt{2}$.容易发现,当 $a$ 在域 $\mathbb{F}$ 中时,其最小多项式都是 $1$ 次的,即 $x-a$.

   我们已知域 $\mathbb{Q}$,$\sqrt{2}$ 不是其元素,那就把它描述为 “一个元素 $a$,其最小多项式为 $x^2-2$”.这样,在仅仅已知 $\mathbb{Q}$ 的情况下,最小多项式已经描述了 $\sqrt{2}$ 的所有代数性质.接下来的两个定理会更深入地讨论这一点.

定理 2 

   设环 $R$ 上有一个多项式 $f(x)$,记 $ < f(x) > =\{h(x)f(x)|h(x)\in R[x]\}$.则 $ < f(x) > $ 是 $R[x]$ 的一个主理想.

   该定理证明不作赘述,因为这里 $ < f > $ 的定义就是按照主理想的定义(某个元素的全体倍数)来的.

定理 3 

  

   给定$\mathbb{F}$,若元素 $a$ 在 $\mathbb{F}$ 上最小多项式为 $f(x)$,则

\begin{equation} \mathbb{F}[a]=\mathbb{F}[x]/ < f(x) > \end{equation}

   证明

   定义映射 $\sigma:\mathbb{F}[x]\to\mathbb{F}[a]$ 如下:对于任意 $p(x)\in\mathbb{F}[x]$,有 $\sigma(p(x))=p(a)$.易证 $\sigma$ 是一个环同态.

   由最小多项式的定义,$\sigma(p(x))=0$ 当且仅当 $p(x)$ 是 $f(x)$ 乘以某一多项式,因此 $ \operatorname {ker}\sigma = < f(x) > $.

   由环同态基本定理,定理得证.

   证毕


1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》.
2. ^ 域是一类特殊的环.
3. ^ 除非我们已经声明 $x$ 和 $y$ 是不同的符号,比如讨论多元多项式的时候.
4. ^ 注意这里用的是中括号.未来我们会讨论到域的扩张,那里用的是小括号,要区分.
5. ^ 说白了,就是实系数多项式的加法和乘法的自然推广.我只是为了严谨,才啰嗦这么多.
6. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》.
7. ^ 如果怀疑这一点,可以看看接下来介绍的长除法.
8. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》.
9. ^ 要证明这一点,你只需要思考一件事:如果存在 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 到 $\mathbb{Q}[x]$ 的环同构$\sigma$,那么 $(\sigma(\sqrt{2}))^2=\sigma((\sqrt{2})^2)=\sigma(2)=\sigma(1+1)=\sigma(1)+\sigma(1)=1+1=2$,从而确定了这个同构就是把所有 $f(\sqrt{2})$ 映射为 $f(x)$.问题是,这样一来,$\sigma(2)=\sigma((\sqrt{2})^2)x^2$ 和 $\sigma(2)=\sigma((\sqrt{2})^4-2)x^4-2$,哪个才是真正的 $\sigma(2)$ 呢?

                     

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