多项式环

贡献者： JierPeter

预备知识　一元多项式，欧几里得环

1. 多项式环

　　¹我们知道，函数是一种映射，特指 “值域是数字集合” 的映射。这里的 “数字集合”，通常指任何一个环，换句话说，只要是个环，其元素都可以被视为 “数字”。我们熟悉的整数环、有理数域²、实数域、复数域等都是很好的例子。

　　多项式就是一种极为重要的函数。在微积分中，性质良好的函数（解析函数）都可以被表示为一列多项式函数的极限，或者说总可以用一个多项式函数来逼近它。而多项式的性质较为简单，求导也很容易。我们现在讨论的是代数，所以就不关心可以怎么用求导啊积分啊等手段去处理多项式函数，而是关心这个概念可以怎么在代数上拓展。

　　先来观察一下我们熟知的多项式吧。作为实变量函数，一个多项式 $f(x)$ 可以表示为：

\begin{equation} f(x) = \sum_{i=0}^N a_i x^i~, \end{equation}

其中各 $a_i$ 都是实数，而 $x^i$ 是用来抽象表示 “任意自变量” 的。我们可以给 $x$ 赋值，比如取一个实数 $c$，然后令 $x=c$，这样就能得到一个实数$f(c)=\sum_{i=0}^N a_i c^i$。但要是不赋值，那 $f(x)$ 就不是一个具体的数，而是一个映射；$x$ 只是一个抽象符号。

　　两个多项式之间根本的不同，体现在哪里呢？是抽象符号吗？显然不是。$x^2+1$ 和 $y^2+1$ 完全可以视为同一个多项式，用的符号³不同而已。决定两个多项式差异的，是多项式的系数，对吧？$x^2+1$ 和 $x^2+3$ 就不是同一个多项式。很明显，我们应该拓展的是系数的概念。

定义 1　

　　设 $R$ 是一个环，$x$ 是一个抽象符号。则形如

\begin{equation} f(x) = \sum_{i=0}^N a_i x^i~ \end{equation}

的表达式称为环 $R$ 上的（一元）多项式（polynomial），其中各 $a_i\in R$，称为该多项式的系数（coefficient）。$a_i x^i$ 称为 $f(x)$ 的 $i$ 次项（item），或者一个单项式，$i$ 称为其次数（degree）。

　　全体以 $x$ 为抽象符号的一元多项式构成的集合，记为 $R[x]$⁴。$R$ 称为 $R[x]$ 的系数环；如果 $R$ 是个域，也称之为系数域。

　　类似地，设各 $x_k$ 都是抽象符号，那么形如

\begin{equation} f(x_1, x_2, \cdots, x_m) = \sum_{k_1+k_2+\cdots k_m=0}^N a_{k_1, k_2, \cdots, k_m} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}~ \end{equation}

的表达式称为环 $R$ 上的$m$ 元多项式（polynomial），其中各 $a_{k_1, k_2, \cdots, k_m}\in R$，称为其系数。每个 $a_{k_1, k_2, \cdots, k_m} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$ 是该多项式的一个 $k_1+k_2+\cdots k_m$ 次项。

　　多项式中最高次的单项式的次数，称为该多项式的次数（degree）。特别的例外是，$ \operatorname {deg}0 = -\infty$。多项式 $f(x)$ 的次数记为 $ \operatorname {deg} f(x)$。在不至于混淆的情况下，也可以简单地用 $f$ 来表示多项式 $f(x)$ 或 $f(x_1, x_2, \cdots, x_m)$。

定义 2　

　　设 $f(x)\in R[x]$，$g(x_1, x_2, \cdots, x_m)\in R[x_1, x_2, \cdots, x_m]$。

　　如果 $r\in R$ 满足 $f(r)=0$，则称 $r$ 是 $f$ 的一个根（root）。如果数组 $\{r_1, r_2, \cdots, r_m\}$ 满足 $g(r_1, r_2, \cdots, r_m)$，则称该数组是 $g$ 的一个根。

　　举几个例子。$x^2y+xy+y^3+2y$ 是一个整数环上的二元三次多项式，其中 $x^2y$ 和 $y^3$ 是其 $3$ 次项。

　　我们常会用到 “多项式环” 这一术语，这是因为环上的全体多项式构成的集合 $R[x]$，还真就是一个环。

习题 1　

　　给定环 $R$ 和一个抽象符号 $x$。证明：$R[x]$ 构成一个环。

　　 $R[x]$ 上加法和乘法的定义⁵：同类单项式（即仅系数不同的单项式）之间的加法定义为以其系数相加的结果为系数的同类单项式，乘法类似地定义为系数的乘法；多项式乘法由单项式加法、乘法以及乘法对加法的分配律定义。

　　类似地，也可以证明多元多项式的集合构成一个环。

　　显然，$R$ 可以看成是全体零阶多项式构成的集合：

习题 2　

　　给定环 $R$，则 $R$ 是 $R[x]$ 的子环。

　　上面说了那么多，我一直在强调 $x$ 是 “抽象符号”。作为实变量函数的多项式，可以把抽象符号替换为实数来赋值，一般的环上当然也可以这么做。设 $f$ 是环 $R$ 上的一元多项式，那任取一个 $r\in R$，依然有 $f(r)\in R$。

2. 域上的多项式除法

　　⁶设 $f(x)$ 是一个多项式，那么使得 $f(r)=0$ 的 $r$ 就被称为这个多项式的根（root）。根的性质决定了多项式的性质。为了理解这一点，我们要先讨论一下多项式之间的除法。不过要注意的是，我们这里要讨论的是域上的多项式除法，也就是系数选自域中，而不只是一个环中。尽管如此，多项式构成的集合依然只是一个环。

　　由于环没有要求乘法逆元存在性，故除法并不总是可行的。比如 $5/2$ 的结果就不在整数环中，尽管 $5$ 和 $2$ 都是整数。但是也正因为这样，环上诞生了独特的 “带余除法”，对，就是小学学过的 $5/2=2\cdots 1$。但是 $a/b=c\cdots r$ 的表述方法挺累赘的，不如写成 $a=bc+r$ 好了，$a$ 是被除数，$b$ 是除数，$c$ 是商，$r$ 是余数。

　　尽管上述讨论中的 $a, b, c, r$ 都是整数，我们也可以把这个概念移植到一般的环上。在稍后我们会讨论的 “欧几里得环” 中，这种带余除法非常重要，但现在我们就着眼于多项式环即可。

　　考虑环 $R$ 上的多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，则总存在 $h(x)$ 和 $r(x)$⁷，其中 $ \operatorname {deg}r\leq \operatorname {deg}g$，使得 $f(x)=h(x)g(x)+r(x)$。这就是多项式之间的除法。如果遇到 $r(x)=0$ 的情况，那么就说 $g$整除$f$，记为 $g|f$。

　　域上多项式的根可以用来拆分这个多项式：

定理 1　

　　给定域 $\mathbb{F}$ 上的一个多项式 $f(x)$。如果 $r\in R$ 是 $f$ 的一个根，那么 $(x-r)|f(x)$。

　　证明：

　　存在 $h(x), s(x)\in\mathbb{F}[x]$，使得 $f(x)=h(x)\cdot(x-r)+s(x)$，且 $s(x)$ 的次数小于 $1$。这样一来，$s$ 实际上就是 $\mathbb{F}$ 的一个元素。将 $r$ 代入 $x$，得到 $0=f(r)=h(r)\cdot(r-r)+s$，因此 $s=0$。故得证。

　　证毕。

　　如果环 $R$ 上的多项式 $f(x)$ 可以表示为两个多项式的乘积 $h(x)g(x)$，或者说它可以被另一个次数为正的多项式整除，那么我们就说这个多项式是可约（reducible）的，而 $h$ 和 $g$ 就被称为其因子；否则，称 $f$ 是不可约（irreducible）的。这样，我们只需要研究好其因子的性质，就能方便地推知 $f$ 本身的性质。又由于定理 1 ，多项式的性质归根到底由根来决定——如果根存在的话。

　　现在，我们引入一个实际计算多项式除法的方法，称为长除法，用表格表示。为方便理解，我们直接用一个具体实例来讲解：在整数环上，用 $2x^2+1$ 去除 $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$。

　　第一步，是比较两个多项式的最高次项，即 $2x^2$ 和 $6x^5$，然后凑一个 $3x^3$，比较 $(2x^2+1)\cdot(3x^3)$ 和 $6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$ 的差，得到 $x^4-x^3-x^2-2$。整个过程表示如下：

表1：

	$3x^3$
$2x^2+1$	$6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$
	$x^4-x^3-x^2-2$

　　然后，再考虑剩下的 $x^4-x^3-x^2-2$ 被 $2x^2+1$ 除：

表2：

	$3x^3+0.5x^2$
$2x^2+1$	$6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$
	$x^4-x^3-x^2-2$
	$-x^3-1.5x^2-2$

　　以此类推，最终使被除多项式的次数小于 $2x^2+1$ 的次数：

表3：

	$3x^3+0.5x^2-0.5x-0.75$
$2x^2+1$	$6x^5+x^4+2x^3-x^2-2$
	$x^4-x^3-x^2-2$
	$-x^3-1.5x^2-2$
	$-1.5x^2+0.5x-2$
	$0.5x-1.25$

　　于是我们就得到了

\begin{equation} \begin{aligned} &6x^5+x^4+2x^3-x^2-2 \\ = &(3x^3+0.5x^2-0.5x-0.75)(2x^2+1)+(0.5x-1.25)~. \end{aligned} \end{equation}

　　我们所求的有效信息在表 3 的最上方和最下方，即 “商数” 和 “余数”，而第二行则是已知的信息。剩下的部分全都是中间计算过程，算完以后就不用再关心了。

　　从运算过程你也可以看出来，为什么我们之前要求讨论范围是 “域” 上的多项式。除法的概念是可以局限在 “环” 上的多项式来讨论的，也依然可以使用长除法来计算，但就没法用到 $0.5$ 这样的元素，也就无法保证余的次数比除数要小了。

3. 最小多项式

　　另见线性变换的极小多项式。

　　⁸我们之前讨论的多项式 $f(x)$ 中，$x$ 是一个抽象的符号，因此多项式是一种 “表达式”。如果给 $x$ 赋值为元素 $r$，那么 $f(r)$ 就也是一个 “域中的元素”。现在考虑一个情况：如果用不属于系数域的元素 $r$ 给多项式赋值呢？会得到什么？

　　这个问题并不难理解，但是抽象的讨论会很麻烦，我们不如从具体例子入手：

例 1　

　　考虑有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的多项式环 $\mathbb{Q}[x]$。令 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 是给 $\mathbb{Q}[x]$ 中所有多项式的自变量 $x$ 都赋值为 $\sqrt{2}$ 后所得结果的集合。容易证明，$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{ a+b\sqrt{2}|a, b\in\mathbb{Q} \}$。

　　这个 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 显然是个环，但和 $\mathbb{Q}[x]$ 不是同构的⁹。

　　我们不能说 $f(\sqrt{2})$ 都是抽象的 “表达式”，因为当 $f(x)=x^2$ 的时候，$f(\sqrt{2})$ 是一个 $\mathbb{Q}$ 中的元素。当 $f(x)=x^4$ 的时候也一样。可是 $\sqrt{2}$ 本身不在域 $\mathbb{Q}$ 中，在 $\mathbb{Q}$ 看来就是一个 “不知道哪儿来的” 元素，好像和 “抽象符号” 一样嘛。

　　那么 $\sqrt{2}$ 和抽象符号 $x$ 到底有什么不同呢？抽象符号只是个符号，构成的是 “表达式”，但 $\sqrt{2}$ 有一个性质：$(\sqrt{2})^2=2\in\mathbb{Q}$。这个性质就是其核心。

定义 3　

　　考虑域 $\mathbb{F}$。设 $a$ 是一个元素，不一定在域 $\mathbb{F}$ 中。如果多项式 $f(x)\in\mathbb{F}[x]$ 能使得 $f(a)=0$，则称 $f$ 是 $a$ 的一个零化多项式（null polynomial）。$a$ 的所有零化多项式中，次数最低的那个，称为其最小多项式（minimal polynomial）。

　　根据定义，最小多项式必然是给定域上的不可约多项式。

　　 $\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中的最小多项式就是 $x^2-2$，在 $\mathbb{R}$ 中的最小多项式则是 $x-\sqrt{2}$。容易发现，当 $a$ 在域 $\mathbb{F}$ 中时，其最小多项式都是 $1$ 次的，即 $x-a$。

　　我们已知域 $\mathbb{Q}$，$\sqrt{2}$ 不是其元素，那就把它描述为 “一个元素 $a$，其最小多项式为 $x^2-2$”。这样，在仅仅已知 $\mathbb{Q}$ 的情况下，最小多项式已经描述了 $\sqrt{2}$ 的所有代数性质。接下来的两个定理会更深入地讨论这一点。

定理 2　

　　设环 $R$ 上有一个多项式 $f(x)$，记 $\langle f(x) \rangle=\{h(x)f(x)|h(x)\in R[x]\}$。则 $\langle f(x) \rangle$ 是 $R[x]$ 的一个主理想。

　　该定理证明不作赘述，因为这里 $\langle f \rangle$ 的定义就是按照主理想的定义（某个元素的全体倍数）来的。

定理 3　

　　给定域$\mathbb{F}$，若元素 $a$ 在 $\mathbb{F}$ 上最小多项式为 $f(x)$，则

\begin{equation} \mathbb{F}[a]=\mathbb{F}[x]/\langle f(x) \rangle ~. \end{equation}

　　证明：

　　定义映射 $\sigma:\mathbb{F}[x]\to\mathbb{F}[a]$ 如下：对于任意 $p(x)\in\mathbb{F}[x]$，有 $\sigma(p(x))=p(a)$。易证 $\sigma$ 是一个环同态。

　　由最小多项式的定义，$\sigma(p(x))=0$ 当且仅当 $p(x)$ 是 $f(x)$ 乘以某一多项式，因此 $ \operatorname {ker}\sigma = \langle f(x) \rangle$。

　　由环同态基本定理，定理得证。

　　证毕。

1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
2. ^ 域是一类特殊的环。
3. ^ 除非我们已经声明 $x$ 和 $y$ 是不同的符号，比如讨论多元多项式的时候。
4. ^ 注意这里用的是中括号。未来我们会讨论到域的扩张，那里用的是小括号，要区分。
5. ^ 说白了，就是实系数多项式的加法和乘法的自然推广。我只是为了严谨，才啰嗦这么多。
6. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
7. ^ 如果怀疑这一点，可以看看接下来介绍的长除法。
8. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
9. ^ 要证明这一点，你只需要思考一件事：如果存在 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 到 $\mathbb{Q}[x]$ 的环同构$\sigma$，那么 $(\sigma(\sqrt{2}))^2=\sigma((\sqrt{2})^2)=\sigma(2)=\sigma(1+1)=\sigma(1)+\sigma(1)=1+1=2$，从而确定了这个同构就是把所有 $f(\sqrt{2})$ 映射为 $f(x)$。问题是，这样一来，$\sigma(2)=\sigma((\sqrt{2})^2)x^2$ 和 $\sigma(2)=\sigma((\sqrt{2})^4-2)x^4-2$，哪个才是真正的 $\sigma(2)$ 呢？