贡献者: JierPeter
直观来说,欧几里得环就是 “可以做辗转相除法的环”。这从定义就可以看出来:任取 $a$,再用任意的 $b$ 去尝试除它,总能得到 $qb+r$ 的形式,其中 $r$ 相当于除法的余数。虽然任意环中的元素都可以这么做分解,而欧几里得环就特殊在它还关系到一个非负整数赋值,使得余数的赋值总是小于非零除数 $b$ 的,这样就使得我们可以多次分解,也就是进行辗转相除。
为了严格证明以上说法成立,我们还需要讨论欧几里得环的一个性质:
证明:
任选 $a\in R$ 且 $a\not=0$,那么 $a=1a+0$,故由欧几里得环的定义可推知,对于任意 $a\in R-\{0\}$,必有 $\delta(0)<\delta(a)$,由此得证。
证毕。
有了定理 1 ,我们还可以补上定义中没有说明的一点:当 $\delta(a)\leq\delta(b)$ 的时候,我们可以取 $q=0$ 而 $r=a$ 来满足 $a=qb+r$ 且符合欧几里得环的性质。因此,一般只讨论 $\delta(a)>\delta(b)$ 的情形。
我们来看几个典型的欧几里得环。
$ \operatorname {deg}(f)$ 是 $f$ 的次数,也就是系数非零的最高项的幂次。这里 $\delta$ 要取 $2$ 的指数是因为 $ \operatorname {deg}(0)=-\infty$,而我们希望 $\delta(0)=0$。
证明:
对于任意 $z\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$,令 $\delta(z)= \left\lvert z \right\rvert ^2$。
任给 $a, b\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$,不妨设 $\delta(a)>\delta(b)$。于是必有 $u, v\in\mathbb{Q}$,使得 $\frac{a}{b}=(u+v \mathrm{i} )$。
于是必有 $c, d\in\mathbb{Z}$,使得 $ \left\lvert c-u \right\rvert \leq\frac{1}{2}$ 和 $ \left\lvert d-v \right\rvert \leq\frac{1}{2}$。
令 $q=c+d \mathrm{i} $,$r=(c+d \mathrm{i} )b-(u+v \mathrm{i} )b=(c+d \mathrm{i} )b-a$,即可满足 $a=qb+r$ 且 $\delta(r)<\delta(b)$。
证毕。
一些类似高斯整数环的环也可以是欧几里得环。
证明:
设 $R$ 是一个欧几里得环,令 $I$ 为 $R$ 的一个理想。不妨设 $I\not=\{0\}$。
由于 $\delta(I)=\{\delta(i)|i\in I\}\subseteq\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$,故在非零的 $\delta(i)$ 中存在最小值 $\delta(b)$,其中 $b\in I$。
任取 $a\in I$,则存在 $q, r\in R$ 且 $\delta(r)<\delta(b)$,使得 $a-qb=r$。
由于 $a, b\in I$ 且 $I$ 有吸收律2,故 $r\in I$。由于 $\delta(b)$ 是 $\delta(I)$ 中的最小非负值,因此必有 $\delta(r)=0$。由定理 1 ,$r=0$。
因此,$b|a$ 对任意 $a\in I$ 成立。
故 $I=\langle b \rangle$,从而得证。
证毕。