欧几里得环

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 主理想整环

定义 1 欧几里得环

   给定整环 $R$,如果存在映射 $\delta:R\to\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$1,使得对于任意 $a, b\in R$ 且 $b\not=0$,都存在 $q, r\in R$ 使得 $a=qb+r$,且 $\delta(r)<\delta(b)$,则称 $R$ 为一个欧几里得环(Euclid Ring),或者欧几里得整环(Euclid Domain)

   直观来说,欧几里得环就是 “可以做辗转相除法的环”。这从定义就可以看出来:任取 $a$,再用任意的 $b$ 去尝试除它,总能得到 $qb+r$ 的形式,其中 $r$ 相当于除法的余数。虽然任意环中的元素都可以这么做分解,而欧几里得环就特殊在它还关系到一个非负整数赋值,使得余数的赋值总是小于非零除数 $b$ 的,这样就使得我们可以多次分解,也就是进行辗转相除。

   为了严格证明以上说法成立,我们还需要讨论欧几里得环的一个性质:

定理 1 

   设 $R$ 是一个欧几里得环,那么对于 $r\in R$,有:

   $r=0\iff \delta(r)=0$。

   证明

   任选 $a\in R$ 且 $a\not=0$,那么 $a=1a+0$,故由欧几里得环的定义可推知,对于任意 $a\in R-\{0\}$,必有 $\delta(0)<\delta(a)$,由此得证。

   证毕

   有了定理 1 ,我们还可以补上定义中没有说明的一点:当 $\delta(a)\leq\delta(b)$ 的时候,我们可以取 $q=0$ 而 $r=a$ 来满足 $a=qb+r$ 且符合欧几里得环的性质。因此,一般只讨论 $\delta(a)>\delta(b)$ 的情形。

   我们来看几个典型的欧几里得环。

例 1 整数环

   对于 $n\in\mathbb{Z}$,令 $\delta(n)=n$,则容易看出 $\mathbb{Z}$ 是一个欧几里得环。

例 2 多项式环

   任给域 $\mathbb{K}$,其多项式环 $\mathbb{K}[x]$ 是一个欧几里得环。取 $\delta(f(x))=2^{ \operatorname {deg}(f)}$ 即可。

   $ \operatorname {deg}(f)$ 是 $f$ 的次数,也就是系数非零的最高项的幂次。这里 $\delta$ 要取 $2$ 的指数是因为 $ \operatorname {deg}(0)=-\infty$,而我们希望 $\delta(0)=0$。

例 3 高斯整数环

   高斯整数环是复平面上的全体坐标为整数的点的集合 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 构成的环,并且是一个欧几里得环。证明见下。

   证明

   对于任意 $z\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$,令 $\delta(z)= \left\lvert z \right\rvert ^2$。

   任给 $a, b\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$,不妨设 $\delta(a)>\delta(b)$。于是必有 $u, v\in\mathbb{Q}$,使得 $\frac{a}{b}=(u+v \mathrm{i} )$。

   于是必有 $c, d\in\mathbb{Z}$,使得 $ \left\lvert c-u \right\rvert \leq\frac{1}{2}$ 和 $ \left\lvert d-v \right\rvert \leq\frac{1}{2}$。

   令 $q=c+d \mathrm{i} $,$r=(c+d \mathrm{i} )b-(u+v \mathrm{i} )b=(c+d \mathrm{i} )b-a$,即可满足 $a=qb+r$ 且 $\delta(r)<\delta(b)$。

   证毕

   一些类似高斯整数环的环也可以是欧几里得环。

例 4 

  

   考虑 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$,其中 $n$ 是正整数。取 $a, b, r, s\in\mathbb{Z}$,定义 $\delta:\mathbb{C}\to \mathbb{Z}^+\cup\{0\}$ 为复数的模方。显然,存在 $x, y\in \mathbb{Q}$ 使得

\begin{equation} a+b\sqrt{-n} = \left(r+b\sqrt{-n} \right) \left(x+y\sqrt{-n} \right) ~. \end{equation}
令 $n$ 和 $m$ 分别是距离 $x$ 和 $y$ 最近的整数,则 $ \left\lvert x-n \right\rvert <0> \left\lvert y-m \right\rvert $。于是
\begin{equation} \begin{aligned} a+b\sqrt{-n} ={}& \left(r+b\sqrt{-n} \right) \left(n+m\sqrt{-n} \right) +\\ & \left(r+b\sqrt{-n} \right) \left((x-n)+(y-m)\sqrt{-n} \right) ~. \end{aligned} \end{equation}

   只要保证 $ \left((x-n)+(y-m)\sqrt{-n} \right) $ 的模方恒小于 $1$,那么 $\delta$ 就是一个合适的函数,使得 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ 是一个欧几里得环。利用 $ \left\lvert x-n \right\rvert <0> \left\lvert y-m \right\rvert $,可知

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert (x-n)+(y-m)\sqrt{-n} \right\rvert ^2 = (x-n)^2+n(y-m)^2 < \frac{1+n}{4}~. \end{aligned} \end{equation}
因此,当 $n\leq 3$ 的时候,$\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ 是欧几里得环,即高斯整数环、$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 这三个情况。

定理 2 

   欧几里得环都是主理想整环。

   证明

   设 $R$ 是一个欧几里得环,令 $I$ 为 $R$ 的一个理想。不妨设 $I\not=\{0\}$。

   由于 $\delta(I)=\{\delta(i)|i\in I\}\subseteq\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$,故在非零的 $\delta(i)$ 中存在最小值 $\delta(b)$,其中 $b\in I$。

   任取 $a\in I$,则存在 $q, r\in R$ 且 $\delta(r)<\delta(b)$,使得 $a-qb=r$。

   由于 $a, b\in I$ 且 $I$ 有吸收律2,故 $r\in I$。由于 $\delta(b)$ 是 $\delta(I)$ 中的最小非负值,因此必有 $\delta(r)=0$。由定理 1 ,$r=0$。

   因此,$b|a$ 对任意 $a\in I$ 成立。

   故 $I=\langle b \rangle$,从而得证。

   证毕


1. ^ 即给每一个环中元素赋予一个非负整数。
2. ^环的理想和商环,这意味着 $qb\in I$。

                     

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