贡献者： JierPeter
极小多项式又称最小多项式，描述了一个元素关于给定环的代数性质。本节是线性代数的一部分，因此我们只讨论线性变换的极小多项式。关于极小多项式的更多讨论，可参见多项式环。
1. 零化多项式
定义 1 线性变换的多项式
给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，令 $A$ 是 $V$ 上的线性变换。
定义 $A^k$ 是 $A$ 与自身复合 $k$ 次的结果，即 $A^k=\overbrace{A\circ A\circ\cdots\circ A}^{k\text{个}A}$，则可以定义线性变换的多项式：若 $f$ 是 $\mathbb{F}$ 上的多项式，表达为
\begin{equation}
f(x) = \sum_{i=0}^m a_ix^i~,
\end{equation}
那么 $f(A)$ 就是 $V$ 上的线性变换，表达为
\begin{equation}
f(A) = \sum_{i=0}^m a_ixA^i~.
\end{equation}
定义 2 零化多项式
给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，令 $A$ 是 $V$ 上的线性变换。
对于 $V$ 的子空间 $W$，若 $\mathbb{F}$ 上的非零多项式$f$ 满足 $f(A) \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} \in W$ 成立，则称 $f$ 是 $A$ 在 $W$ 上的零化多项式（null polynomial）。
由定义 2 显然可知，$f$ 是 $A$ 在 $V$ 上的零化多项式，当且仅当 $f(A)=0$。
对于任意线性变换，其零化多项式一定存在，如以下定理所说：
定理 1 Hamilton-Cayley 定理
给定线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$，$f(\lambda)$ 为其特征多项式，则 $f(A)=0$。
证明：
任取 $V$ 的一组基，将线性变换 $A$ 表示为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，恒等变换 $I$ 的矩阵则必为 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $。
令
\begin{equation}
f(\lambda) = \sum_{i=0}^n a_i\lambda^i~,
\end{equation}
再定义 $\lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的伴随矩阵为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} (\lambda)=\sum_{i=0}^n \boldsymbol{\mathbf{B}} _i\lambda^i~,
\end{equation}
其中各 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _i$ 是常数矩阵。
由伴随矩阵和特征多项式的定义，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} (\lambda) \left(\lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) = \boldsymbol{\mathbf{I}} \operatorname {det}(\lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \boldsymbol{\mathbf{I}} f(\lambda)~.
\end{equation}
将式 3 和式 4 代入式 5 ，比较各 $\lambda^i$ 的系数可得
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{n-1} ={}& a_n \boldsymbol{\mathbf{I}} ; \\
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{n-2}- \boldsymbol{\mathbf{B}} _{n-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ={}& a_{n-1} \boldsymbol{\mathbf{I}} ; \\
\cdots{}&\\
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{0}- \boldsymbol{\mathbf{B}} _{1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ={}& a_1 \boldsymbol{\mathbf{I}} ;\\
- \boldsymbol{\mathbf{B}} _{0} \boldsymbol{\mathbf{A}} ={}& a_0 \boldsymbol{\mathbf{I}} .
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{n+1-k}$右乘上式的第 $k$ 个等式，即得
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{n-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^n={}& a_n \boldsymbol{\mathbf{A}} ^n; \\
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{n-2} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{n-1}- \boldsymbol{\mathbf{B}} _{n-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^n ={}& a_{n-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{n-1}; \\
\cdots{}&\\
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{0} \boldsymbol{\mathbf{A}} - \boldsymbol{\mathbf{B}} _{1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 ={}& a_1 \boldsymbol{\mathbf{A}} ;\\
- \boldsymbol{\mathbf{B}} _{0} \boldsymbol{\mathbf{A}} ={}& a_0 \boldsymbol{\mathbf{I}} .
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
将
式 7 中所有式子加起来，比较左右两端即可得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{0}} = \sum_{i=0}^n a_i \boldsymbol{\mathbf{A}} ^i~.
\end{equation}
证毕。
2. 极小多项式
定义 3 极小多项式
设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换。若 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $f$ 是 $A$ 的零化多项式，且对于 $A$ 的任意零化多项式 $g$，总存在多项式 $h$ 使得 $g=fh$，那么称 $f$ 是 $A$ 的极小多项式（minimal polynomial），或最小多项式。
由定理 1 ，任何一个线性变换都有零化多项式；那么极小多项式是否总是存在呢？
定理 2 极小多项式存在性
设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换，则 $A$ 有极小多项式。
证明：
任取 $A$ 的零化多项式 $f$，如果不存在次数比 $f$ 更低的零化多项式，那么 $f$ 就是极小多项式。这是因为，此时对如果 $f$ 不是极小多项式，则可以取零化多项式 $g$，使得
\begin{equation}
g=fh+r~,
\end{equation}
其中 $h$ 和 $r$ 都是多项式，且 $ \operatorname {deg}r< \operatorname {deg}f$。显然，$f$ 和 $gh$ 都是 $A$ 的零化多项式，因此 $r$ 也是，而 $r$ 的次数比 $f$ 的次数低，与假设矛盾。
由于零化多项式的次数是正整数，因此 $A$ 的零化多项式集合中一定存在次数最低的多项式，这个多项式就是 $A$ 的极小多项式。
证毕。