Hermite 多项式

贡献者： addis

　　¹埃尔米特（Hermite）多项式。

图 1：Hermite 多项式（来自 Wikipedia）

\begin{matrix} (1) & H_{n} (x) \equiv (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- x^{2}}) . \end{matrix}

前 6 阶 Hermite 多项式分别为

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{l} H_{0} (x) = 1 \\ H_{1} (x) = 2 x \\ H_{2} (x) = 4 x^{2} - 2 \end{array} \begin{array}{l} H_{3} (x) = 8 x^{3} - 12 x \\ H_{4} (x) = 16 x^{4} - 48 x^{2} + 12 \\ H_{5} (x) = 32 x^{5} - 160 x^{3} + 120 x, \end{array} \end{matrix}

更高阶的 Hermite 多项式也可以用 Mathematica 函数 HermiteH[n, x] 或 Matlab 函数 hermiteH(n, x)（需要符号计算工具箱）计算。

1. 性质

　　 正交性

\begin{matrix} (3) & \int_{- \infty}^{\infty} H_{m} (x) H_{n} (x) e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π} 2^{n} n! δ_{m, n} . \end{matrix}

其中

e^{- x^{2}}

被称为权函数。

1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。