Hermite 多项式
贡献者： addis
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1埃尔米特（Hermite）多项式。
图 1：Hermite 多项式（来自 Wikipedia）
\begin{equation}
H_n(x) \equiv (- 1)^n \mathrm{e} ^{x^2} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \left( \mathrm{e} ^{-x^2} \right) ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
H_0(x) = 1\\
H_1(x) = 2x\\
H_2(x) = 4x^2 - 2
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
H_3(x) = 8x^3 - 12x\\
H_4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12\\
H_5(x) = 32x^5 - 160x^3 + 120x~,
\end{array}
\end{equation}
HermiteH[n, x] 或 Matlab 函数 hermiteH(n, x)（需要符号计算工具箱）计算。
1. 性质
正交性
\begin{equation}\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x) \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi}2^n n! \delta_{m,n}~.
\end{equation}