简谐振子升降算符归一化
贡献者： addis
首先要提醒的是，一般算符满足的一个条件是 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} ^\dagger g}|{f}\rangle $。但是对于厄米算符，$ \hat{Q} ^\dagger = \hat{Q} $， 所以有 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} g}|{f}\rangle $。
对于谐振子的升降算符 $a_\pm = (m\omega x \mp \mathrm{i} p)/\sqrt{2m\omega\hbar}$，有
\begin{equation} \begin{aligned}
a_- a_+ &= \frac{1}{2m\omega\hbar} (m^2 \omega ^2 x^2 + p^2 - \mathrm{i} m\omega \left[x, p\right] )\\
&= \frac{1}{\omega\hbar} \left[\frac{1}{2m} (m^2\omega ^2 x^2 + p^2) + \frac{\omega\hbar}{2} \right] \\
&= \frac{1}{\omega \hbar } H + \frac12~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
\left\lvert a_+\psi_n \right\rvert ^2 &= \left\langle{a_+\psi_n}\middle| a_+\psi_n \right\rangle = \left\langle \psi_n \middle| a_- a_+\psi_n \right\rangle
= \left\langle \psi_n \middle| \left(\frac{1}{\omega\hbar} H + \frac12 \right) \psi_n \right\rangle \\
&= \left(n+ \frac12 \right) + \frac12 = n+1~,
\end{aligned} \end{equation}
所以有 $a_+ \psi_n = \sqrt{n + 1} \psi_{n+1}$（同理 $a_- \psi_n = \sqrt n \,\psi_{n - 1}$）。
再次提醒，归一化系数后面可以加上任意相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$，同样能满足归一化条件，但一般省略。