简谐振子升降算符归一化

贡献者： addis

内容太少，应该放到）

预备知识　简谐振子（升降算符）

　　首先要提醒的是，一般算符满足的一个条件是 $⟨ g | \hat{Q} f ⟩ = ⟨ {\hat{Q}}^{†} g | f ⟩$ 。但是对于厄米算符， ${\hat{Q}}^{†} = \hat{Q}$ ，所以有 $⟨ g | \hat{Q} f ⟩ = ⟨ \hat{Q} g | f ⟩$ 。

　　对于谐振子的升降算符 $a_{\pm} = (m ω x \mp i p) / \sqrt{2 m ω ℏ}$ ，有

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} a_{-} a_{+} & = \frac{1}{2 m ω ℏ} (m^{2} ω^{2} x^{2} + p^{2} - i m ω [x, p]) \\ = \frac{1}{ω ℏ} [\frac{1}{2 m} (m^{2} ω^{2} x^{2} + p^{2}) + \frac{ω ℏ}{2}] \\ = \frac{1}{ω ℏ} H + \frac{1}{2}, \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} {| a_{+} ψ_{n} |}^{2} & = ⟨ a_{+} ψ_{n} | a_{+} ψ_{n} ⟩ = ⟨ ψ_{n} | a_{-} a_{+} ψ_{n} ⟩ = ⟨ ψ_{n} | (\frac{1}{ω ℏ} H + \frac{1}{2}) ψ_{n} ⟩ \\ = (n + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = n + 1, \end{aligned} \end{matrix}

所以有

a_{+} ψ_{n} = \sqrt{n + 1} ψ_{n + 1}

（同理

a_{-} ψ_{n} = \sqrt{n} ψ_{n - 1}

）。再次提醒，归一化系数后面可以加上任意相位因子

e^{i θ}

，同样能满足归一化条件，但一般省略。