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皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf theorem）是分析数学中的一个基本定理，又称为柯西-李普希茨定理（Cauchy-Lipschitz theorem）. 它断言：常微分方程（组）的初值问题只需要满足一些非常宽泛的条件，就是唯一可解的。
由于许多经典物理问题都可以化归为常微分方程组，所以皮卡-林德勒夫定理可以用来说明这些物理问题的决定论（deterministic）特性：给定了系统的初始状态之后，系统的演化就唯一确定了。
对于不满足皮卡-林德勒夫定理条件的常微分方程组，尚有皮亚诺存在定理。后者无法保证解的唯一性。
虽然定理的精确表述有点繁琐，但它背后的意思很简单：对于常微分方程
一般来说，实际问题中的 $f$ 都是连续可微的，这其实比李普希茨条件还要强。
"唯一可解"的意思实际上比定理表述得还要更多。在定理的表述中，初值问题 式 1 只是局部唯一可解的。但是，如果 $t_0+T\in I$, 那么还可以将 $u(t_0+T)$ 作为点 $t_0+T$ 处的新初值，从而将解沿着时间轴继续延拓下去。按照这个思路，就可以得到唯一的极大解.
在实际应用中，空间 $X$ 一般都是实数空间 $\mathbb{R}^n$. 这时候 式 1 就是有 $n$ 个未知函数的常微分方程组。对于形如 $$ y^{(n)}(t)=F(t,y(t),y'(t),...,y^{(n-1)}(t))~ $$ 的 $n$ 阶方程，只要命 $$ u(t)=\left(\begin{array}{c} y(t)\\ y'(t)\\ ...\\ y^{(n-1)}(t) \end{array} \right)~,\quad f(u(t),t)=\left(\begin{array}{c} u_2(t)\\ u_3(t)\\ ...\\ F\left(t,u_1(t),u_2(t),...,u_n(t)\right) \end{array} \right)~, $$ 就得到了有 $n$ 个未知函数的常微分方程组。这表示：对于 $n$ 阶常微分方程，如果要确定它的一个特解，一般来说需要给定它的直到 $n-1$ 阶导数在某点处的值。
对于给定的 $t_0\in I$ 和 $x_0\in U$, 就取定理表述中的邻域 $\bar B_X(x_0,R)\subset U$ 和 $[t_0-r,t_0+r]\subset I$. 映射 $f$ 在 $\bar B_X(x_0,R)\times[t_0-r,t_0+r]$ 上是有界的，不妨设它的上界为 $M$. 对于 $T\leq r$, 命 $J_T=[t_0-T,t_0+T]$. 设 $\mathfrak{X}_T$ 是从 $J_T$ 出发的到 $\bar B_X(x_0,R)$ 的连续映射的集合，赋予度量 $$ \|u_1(t)-u_2(t)\|:=\sup_{t\in J_T}|u_1(t)-u_2(t)|_X~. $$ 则 $\mathfrak{X}_T$ 是一个完备度量空间。考虑它上面的非线性算子 $$ (\Phi u)(t):=x_0+\int_{t_0}^tf(u(s),s) \,\mathrm{d}{s} ~. $$ 这个算子将 $\mathfrak{X}_T$ 的映射变换为从 $J_T$ 到 $X$ 的映射。则初值问题 式 1 等价于不动点型方程 $u=\Phi u$. 这提示我们可以使用压缩映像原理.
欲使得 $\Phi$ 将 $\mathfrak{X}_T$ 映射为自身，只需要 $T\leq R/M$; 实际上，这时候 $$ \|\Phi u-x_0\| \leq\sup_{t\in J_T}\left|\int_{t_0}^tf(u(s),s) \,\mathrm{d}{s} \right|_X \leq TM\leq R~, $$ 在此基础上，欲使得 $\Phi$ 成为压缩映射，只需要 $T<1/2L$; 实际上，这时候对于 $u_1,u_2\in\mathfrak{X}_T$ 有 $$ \begin{aligned} \|\Phi u_1-\Phi u_2\| &\leq\sup_{t\in J_T}\left|\int_{t_0}^t[f(u_1(s),s)-f(u_2(s),s)] \,\mathrm{d}{s} \right|_X \\ &\leq TL\|u_1-u_2\|\\ &<\frac{1}{2}\|u_1-u_2\|~. \end{aligned} $$ 所以，取 $T=\min\left(1/2L,R/M\right)$, 即可保证 $\Phi$ 是 $\mathfrak{X}_T$ 到自己的压缩映像，从而有唯一不动点。这不动点正是初值问题 式 1 的唯一解。证毕。
由于用到了压缩映像原理来证明，便可以由此得到收敛到解的近似解序列。因此，皮卡-林德勒夫定理实际上给出了一个近似求解常微分方程（组）的算法：对于初值问题 式 1 , 近似解可以由迭代序列 $$ u_{n+1}(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(u_n(s),s) \,\mathrm{d}{s} ~ $$ 给出，而且这个序列收敛到真解的速度是指数式的。这个算法叫做逐次迭代法. 由于极大解的存在，这个迭代算法实际上并不受 $t\in [t_0-T,t_0+T]$ 的限制，而可以取为极大存在区间中的任意一点。
显然，皮卡-林德勒夫定理保证了这样一个事实：
对于一个给定的常微分方程（组）的初值问题，只要它满足皮卡-林德勒夫定理的条件（这是很宽泛的）, 那么不论用什么办法求得它的解都一定是问题的唯一解。
这就为许多初等的推理提供了逻辑上的保证。例如，对于常系数二阶线性方程 $$ u''+au'+bu=0~, $$ 我们过去"猜测"它的解应该是形如 $e^{rt}$ 的函数的线性叠加，其中 $r$ 满足特征方程 $r^2+ar+b=0$. 现在有了皮卡-林德勒夫定理，我们便可以保证解一定是这种形式。
以上推理在微分几何学中有重要的用处。它保证了流形上光滑向量场的流一定是局部存在且唯一的。
进一步地，正如开头所说，皮卡-林德勒夫定理保证了许多常见的经典力学系统的决定论特性。例如，对于哈密顿系统, 只要哈密顿函数在相空间的区域上是连续可微的，那么给定了广义坐标和广义动量的初始值之后，系统就一定存在唯一的演化。如果回到牛顿力学的语言，这表示：在一个经典力学系统中，只要力场是连续可微的，那么给定了质点系的初始位置和初始速度，系统的演化就唯一决定了。
注意，经典力学系统的决定论特性与所谓的"混沌特性", 例如解对微扰的敏感性或者遍历性都不冲突; "混沌特性"描述的是系统的长期行为，在足够短的时间尺度之下，系统仍然可以是决定论式的。
最后，有必要给出一个皮卡-林德勒夫定理不成立的例子来说明以上逻辑的局限。这再次显示出现代物理学的一个基本思想：任何物理系统的数学模型都有其适用范围。