巴拿赫不动点定理

贡献者： DTSIo; hfb25; addis

预备知识　完备度量空间，压缩映射

　　 巴拿赫不动点定理（Banach fixed point theorem） 又称作压缩映像原理（contraction mapping principle）. 它是完备度量空间理论中的基本定理，在分析数学的诸多分支中均有应用。

1. 两个著名例子

例 1　落在地面上的地图

　　这是数学科普中常见的命题：将一座公园的地图铺开在公园地面上，则地面上恰有唯一一点与地图上对应的点重合。

　　借助一点线性代数知识，这个命题是不难验证的。设公园可以用有界的面闭区域 $\bar{Ω}$ 表示。设地图的压缩比是 $λ$ (它当然介于 0 和 1 之间). 现在固定一个平面直角坐标系，把地图铺在区域 $\bar{Ω}$ 内，则从 $\bar{Ω}$ 内的点（公园中的地点）到地图上对应点的变换由下面的公式给出： $x \to λ R x + b,$ 这里 $R$ 是一个旋转变换， $b$ 是平移向量。于是，要找的重合点必然满足方程 $x = λ R x + b .$ 由于 $‖ λ R ‖ = λ < 1$ , 这方程就有唯一的解 $x = (1 - λ R)^{- 1} b = \sum_{n = 0}^{\infty} λ^{n} R^{n} b .$ 它就是要求的重合点。

例 2　函数的迭代

　　这是一个常见的数学实验：在计算器中任意输入一个数，而后不停地计算它的余弦值（弧度制）, 会得到什么结果？

图 1：余弦函数的迭代

　　上图给出了一个结果; 迭代的结果越来越逼近对角线 $y = x$ 与余弦曲线 $y = \cos x$ 的唯一交点。验算若干数值，不难作出如下猜测：不论实数的迭代序列 $x_{n + 1} = \cos x_{n}$ 开始于哪一个数，它最后都会收敛到方程 $x = \cos x$ 的唯一实数解 $x = 0.739 . . .$ .

　　这个结论也可以严格证明。不论起点 $x_{1}$ 是何数，都有 $| x_{2} | = | \cos x_{1} | \leq 1$ , 从而 $\cos 1 \leq x_{3} \leq 1$ . 这样一来，从 $x_{3}$ 开始，所有点都落在区间 $[\cos 1, 1]$ 内。于是可以作出如下估计： $\begin{array}{r} | x_{n + 2} - x_{n + 1} | = | \int_{x_{n}}^{x_{n + 1}} \sin t d t | \leq (\sin 1) | x_{n + 1} - x_{n} | . \end{array}$ 由于 $| \sin 1 | < 1$ , 这表示序列 ${x_{n}}$ 是柯西序列，从而收敛到某个点 $x_{*}$ . 对等式 $x_{n + 1} = \cos x_{n}$ 取极限即看出这个极限点正是方程 $x = \cos x$ 的解。

2. 巴拿赫不动点定理

定理的表述

　　从上面所举的两个例子，可以抽象出如下的定理：

定理 1　巴拿赫不动点定理

　　设 $(X, d)$ 是完备度量空间, $T : X \to X$ 是其上的压缩映射，那么映射 $T$ 有唯一的不动点，即满足 $x = T x$ 的点。而且，对于任意 $x_{0} \in X$ , 点列 ${T^{n} x_{0}}_{n \in N}$ 都收敛到这个不动点。

　　证明是直接的计算：根据度量空间中的三角不等式，显然有 $\begin{aligned} d (T^{n} x_{0}, T^{n + k} x_{0}) & \leq \sum_{j = 1}^{k} d (T^{n + j - 1} x_{0}, T^{n + j} x_{0}) \\ \leq \sum_{j = 1}^{k} q^{n + j - 1} d (x_{0}, T x_{0}) \\ \leq \frac{q^{n}}{1 - q} d (x_{0}, T x_{0}) . \end{aligned}$ 于是点列 ${T^{n} x_{0}}_{n \in N}$ 是柯西序列，在完备度量空间 $X$ 之中自然收敛到某个 $x_{*} \in X$ . 在公式 $T^{n + 1} x_{0} = T (T^{n} x_{0})$ 中令 $n \to \infty$ 就立刻看出 $x_{*} = T x_{*}$ . 不动点的唯一性则由 $d (T x, T y) \leq q d (x, y)$ 立刻得到。证毕。

　　在上面的不等式中，如果令 $k \to \infty$ , 就得到估计 $d (T^{n} x_{0}, x_{*}) \leq \frac{q^{n}}{1 - q} d (x_{0}, T x_{0}) .$ 这表示点列 ${T^{n} x_{0}}_{n \in N}$ 收敛到不动点 $x_{*}$ 的速度很快，是指数式的。

辨析

　　从许多个意义上来说，巴拿赫不动点定理都是最优的，因为取消任何一条假设都能够让定理不成立（即存在反例）.

例 3　没有完备性

　　这个例子非常简单。考虑开区间 $(0, 1)$ 到自己的映射 $f (x) = x / 2$ . 它的不动点 $x = 0$ 跑出了 $(0, 1)$ 的范围。之所以会有这样的反例，是因为开区间 $(0, 1)$ 在通常的距离函数之下并不是完备的度量空间。

例 4　没有一致的压缩比

　　巴拿赫不动点定理的表述要求一个无关于点 $x, y$ 的数 $q < 1$ , 这个数有时被称为压缩比。如果没有一致的压缩比，那么就能举出反例。例如函数 $f (x) = \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} \sqrt{x^{2} + 1}, x \in R .$ 如图所示，它的图形是双曲线的一支，以对角线 $y = x$ 为渐近线。方程 $x = f (x)$ 当然无解。另一方面，通过微分中值定理，却也容易证明不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | x_{1} - x_{2} |, x_{1}, x_{2} \in R .$ 然而，当 $x_{1}, x_{2} \to - \infty$ 时，不难看出 $\frac{| f (x_{1}) - f (x_{2}) |}{| x_{1} - x_{2} |}$ 越来越接近 1. 因此映射 $f$ 没有一致的压缩比。

图 2：函数

f (x) = \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} \sqrt{x^{2} + 1}

的图形

3. 应用举例

　　巴拿赫不动点定理在数学中有诸多应用。它可以用来证明方程存在唯一解，而且因为它的证明是构造性的，它还能够给出近似计算解的算法。

例 5　平方根的计算

　　对于给定的正数 $a$ ，它的算术平方根 $\sqrt{a}$ 一定满足方程 $x^{2} = a$ 。不妨设 $a > 1$ ，将其改写为下列形式

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{2} (x + \frac{a}{x}) = x . \end{matrix}

将等式左边的部分视为

T x

，易知

T

是完备度量空间¹

[η, a]

（

η

是一足够小正数²）上的连续映射。

　　又对任意 $x_{1}, x_{2} \in [η, a]$

\begin{matrix} (2) & | T x_{1} - T x_{2} | = \frac{1}{2} | x_{1} - x_{2} | | 1 - \frac{a}{x_{1} x_{2}} | \leq \frac{1}{2} | x_{1} - x_{2} | . \end{matrix}

　　根据巴拿赫不动点定理，我们可知算术平方根 $\sqrt{a}$ 必然存在且唯一，且对任意 $x \in [η, a]$ ，点列 ${T^{n} x_{0}}_{n \in N}$ 均收敛到 $\sqrt{a}$ .

　　所以我们可以这么计算正数 $a (a \geq 2)$ 的算术平方根：先取 $x_{1} = \frac{1}{2} a$ ³，然后按下式迭代计算：

\begin{matrix} (3) & x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) . \end{matrix}

　　计算精度估计（ $n$ 为迭代计算次数）

\begin{matrix} (4) & ϵ \leq {(\frac{1}{2})}^{n + 1} | a - 4 | . \end{matrix}

　　当 $1 \leq a < 2$ 时，取 $x_{1} = 1$ ，此时计算精度估计

\begin{matrix} (5) & ϵ \leq {(\frac{1}{2})}^{n - 1} | a | . \end{matrix}

　　当 $0 < a < 1$ 时，求 $\sqrt{1 / a}$ ，然后求倒数即可。

1. ^ 完备度量空间的闭子集必然是完备度量空间。
2. ^ $η$ 的值一方面要保证 $T x \in [η, a] (x \in [η, a])$ ，另一方面要保证 $x_{1} x_{2} \geq a / 2$ $(x_{1}, x_{2} \in [η, a])$ ，但可以证明 $η$ 是存在的（证明存在正数 $η$ 使 $a / 2 \leq η^{2} < a$ ）。
3. ^ 易证存在 $η \leq \frac{1}{2} a$ 且满足上面的条件。

巴拿赫不动点定理

1. 两个著名例子

例 1 落在地面上的地图

例 2 函数的迭代

2. 巴拿赫不动点定理

定理的表述

定理 1 巴拿赫不动点定理

辨析

例 3 没有完备性

例 4 没有一致的压缩比