贡献者： 零穹
在仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 中，任一点都可看成 $V$ 与 $\mathbb A$ 之间的双射（式 3 ）。这就是相当于在仿射空间中的任一点可作出任一给定的矢量。如此便有这样的问题出现：在区域 $\Omega\in\mathbb A$ 取曲线坐标 $x^i$ 时，如何在任一点作出一已知矢量。设已知矢量 $v_0$ 在点 $M_0$ 的坐标为 $v_0^i$，现要求从另一点 $M_1$ 作出这个矢量。这就是说，我们必须确定：如何变更 $v_0^i$，以便在 $M_1$ 的局部标架中，使它们能定出以前的矢量 $v_0$。
如果将 $v_0$ 不经过任何中间点而从 $M_0$ 直接移到 $M_1$ 上，则问题的解答就失去了意义。值得注意的是矢量 $v_0$ 沿任一曲线 $\overset{\Huge\frown}{M_0M_1}$ 的连续移动，且坐标 $v_0^i$ 在路径上每一无限小段上连续变化的过程，即平行移动。
1. 平行移动公式
设路径 $\overset{\Huge\frown}{M_0M_1}$ 的参数方程为
\begin{equation}
x^i=x^i(t),\quad t_0\leq t\leq t_1~,
\end{equation}
式中 $x^i(t)$ 是连续可微的函数。于是曲线上一点的向径 $x$ 是 $t$ 的函数
\begin{equation}
x=x(t)~.
\end{equation}
$v_0$ 在路径上平行移动就是要在路径上每一点 $M(t)$ 作一常矢量 $v_0$。由于局部标架（
定义 4 ）随点而变化，因而矢量 $v_0$ 的坐标 $v^i$ 也随点的位置而变，所以
\begin{equation}
v^i=v^i(t)~.
\end{equation}
因为 $x^i(t)$ 是连续可微的，因此局部标架的矢量 $\partial_i x(x^1,\cdots,x^n)$ 以及 $v^i$ 沿此路径是 $t$ 的连续可微函数。
在点 $M(t)$ 处，按该处局部标架展开矢量 $v_0$：
\begin{equation}
v_0=v^i(t)\partial_i x(x^1,\cdots,x^n)~.
\end{equation}
注意，这里 $x^i$ 是依赖于路径参数 $t$ 的。关于 $t$ 逐项微分，因为 $v_0$ 是给定的，即是常矢量，得
\begin{equation}
0= \,\mathrm{d}{v} ^i\partial_i x+v^i \,\mathrm{d}{\partial} _i x~.
\end{equation}
由全微分公式得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\partial} _i x(x^1,\cdots,x^n)=\partial_{ij}x \,\mathrm{d}{x} ^j~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\partial_{ij}x= \frac{\partial x(x^1,\cdots,x^n)}{\partial x^i\partial x^j} ~,
\end{equation}
是在 $M(t)$ 处确定的矢量，按该点的局部标架展开，其系数记为 $\Gamma^k_{ij}$，于是
\begin{equation}
\partial_{ij}x=\Gamma^k_{ij}\partial_k x~.
\end{equation}
由 $\partial_{ij} x=\partial_{ji} x$，且按标架矢量展开的唯一性，得
\begin{equation}
\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}~.
\end{equation}
$\Gamma^k_{ij}$ 显然依赖于点 $M(t)$，即
\begin{equation}
\Gamma^k_{ij}(M)=\Gamma^k_{ij}(x^1,\cdots,x^n)~.
\end{equation}
联立式 5 ，式 6 和式 8 ，就有
\begin{equation}
0= \,\mathrm{d}{v} ^i\partial_i x+v^i\Gamma^k_{ij}\partial_k x \,\mathrm{d}{x} ^j~.
\end{equation}
由于标架矢量 $\partial_i x$ 的线性无关性，故
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{v} ^i+\Gamma^i_{jk}v^j \,\mathrm{d}{x} ^k=0~.
\end{equation}
上式或记作
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{v} ^i=-\Gamma^i_{jk}v^j \,\mathrm{d}{x} ^k~.
\end{equation}
2. 联络系数
平行移动公式回答了开头的问题：若在已知点 $M(x^i)$ 处一矢量 $v_0$ 坐标为 $v_0^i$，则在无限接近的一点 $M'(x^i+ \,\mathrm{d}{x} ^i)$ 处作出这个矢量 $v_0$，其坐标为 $v^i=v_0^i+ \,\mathrm{d}{v} ^i=v_0^i-\Gamma^i_{jk}v_0^j \,\mathrm{d}{x} ^k$。当沿路径 $\overset{\Huge\frown}{M_0M_1}$ 移动时，则只需把对应的微分方程组进行积分。
当然，我们并没有精确解决这一问题，而是只保留了一阶无穷小，更正确地说，平行移动公式所表达出的不是坐标 $v^i$ 当 $M$ 变到 $M'$ 时的增量，而是它们的微分。
从平行移动公式中，我们看到：借助系数 $\Gamma^i_{jk}$ 点 $M$ 的各矢量与点 $M'$ 的各矢量相联系着。因此，系数 $\Gamma^i_{jk}$ 称为联络系数。
定义 2 联络系数
称平行移动公式式 13 中的系数 $\Gamma^i_{jk}$ 为联络系数。
定理 1 曲线坐标为仿射坐标的条件
在区域 $\Omega$ 中，曲线坐标为仿射坐标的充要条件是：在该曲线坐标下的联络系数 $\Gamma^k_{ij}$ 恒等于 0。
证明：
1。必要性
设曲线坐标 $x^i$ 为仿射坐标，则 $\partial_i x=e_i$ 是恒定的，于是
\begin{equation}
\partial_{ij} x=\partial_j e_i=0~.
\end{equation}
由
式 8
\begin{equation}
\Gamma^k_{ij}=0~.
\end{equation}
2。充分性
设在任一曲线坐标 $x^i$ 中，$\Gamma^k_{ij}=0$，由式 8
\begin{equation}
\partial_{ij}x=0,\quad \partial_i x=\mathrm{constant}~.
\end{equation}
这就是说标架基矢为常矢量，即曲线坐标是仿射坐标。
证毕！