曲线坐标系下的张量坐标变换（仿射空间）

贡献者：零穹

预备知识　仿射空间中的曲线坐标系，张量的坐标变换

　　在仿射空间中的曲线坐标系一节中，我们知道，在区域 $Ω$ 中给定一个曲线坐标，就相当于在 $Ω$ 中的每一点 $M$ 上给出了一个局部标架 ${M; \partial_{1} x, \dots, \partial_{n} x}$ ，其中 $x$ 是点 $M$ 的向径。在相当多的情形下，都是认为仿射空间取任意的曲线坐标 $x^{i}$ ，因而在每一点 $M$ 产生一个局部标架，于是点 $M$ 处的张量 $T (M)$ 的坐标，都是在这一标架下取的。这些坐标简单的叫作张量 $T (M)$ 在已知曲线坐标系 $x^{i}$ 中的坐标。在 $Ω$ 上每一点 $M$ 处给定一个张量 $T (M)$ 就叫作在 $ω$ 上给定了一个张量场。本节将给出在两个曲线坐标系下的张量场的坐标变换规律。我们这里将继续遵守用张量坐标形式来代表张量本身，要还原张量本身只需加上基底即可。

定理 1　张量场的坐标转换关系

　　设 $T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{j_{1}, \dots, j_{q}}, T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{' j_{1}, \dots, j_{q}}$ 分别是曲线坐标 $x^{i}$ 和 $x^{' i}$ 下对应的张量场，则

\begin{matrix} (1) & T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{' j_{1}, \dots, j_{q}} = \frac{\partial x^{' j_{1}}}{\partial x_{k_{1}}} \dots \frac{\partial x^{' j_{q}}}{\partial x^{k_{q}}} \frac{\partial x^{l_{1}}}{\partial x^{' i_{1}}} \dots \frac{\partial x^{l_{p}}}{\partial x^{' i_{p}}} T_{l_{1}, \dots, l_{p}}^{k_{1}, \dots, k_{q}} . \end{matrix}

1. 证明

　　由张量的坐标变换知道，若基底 ${e_{i}}$ 到基底 ${e_{i}^{'}}$ 的转换矩阵为 $A_{j}^{i}$ ，逆矩阵为 $B_{j}^{i}$ ，那么任意张量 $T$ 在这两基底下的坐标变换规律（见张量的坐标变换）为

\begin{matrix} (2) & T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{' j_{1}, \dots, j_{q}} = B_{k_{1}}^{j_{1}} \dots B_{k_{q}}^{j_{q}} A_{i_{1}}^{l_{1}} \dots A_{i_{p}}^{l_{p}} T_{l_{1}, \dots, l_{p}}^{k_{1}, \dots, k_{q}} . \end{matrix}

对

Ω

上任一点

M

，有（子节 4 ）

\begin{matrix} (3) & A_{j}^{i} = \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' j}} (M), B_{j}^{i} = \frac{\partial x^{' i}}{\partial x_{j}} (M) . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (4) & T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{' j_{1}, \dots, j_{q}} (M) = \frac{\partial x^{' j_{1}}}{\partial x_{k_{1}}} (M) \dots \frac{\partial x^{' j_{q}}}{\partial x^{k_{q}}} (M) \frac{\partial x^{l_{1}}}{\partial x^{' i_{1}}} (M) \dots \frac{\partial x^{l_{p}}}{\partial x^{' i_{p}}} T_{l_{1}, \dots, l_{p}}^{k_{1}, \dots, k_{q}} (M), \end{matrix}

上式可记为

\begin{matrix} (5) & T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{' j_{1}, \dots, j_{q}} (M) = (\frac{\partial x^{' j_{1}}}{\partial x_{k_{1}}} \dots \frac{\partial x^{' j_{q}}}{\partial x^{k_{q}}} \frac{\partial x^{l_{1}}}{\partial x^{' i_{1}}} \dots \frac{\partial x^{l_{p}}}{\partial x^{' i_{p}}} T_{l_{1}, \dots, l_{p}}^{k_{1}, \dots, k_{q}}) (M) . \end{matrix}

由点

M

的任一性，所以对

Ω

上任一张量场

T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{j_{1}, \dots, j_{q}}

，其在曲线坐标

x^{i}

和

x^{' i}

之间的坐标转换关系为

\begin{matrix} (6) & T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{' j_{1}, \dots, j_{q}} = \frac{\partial x^{' j_{1}}}{\partial x_{k_{1}}} \dots \frac{\partial x^{' j_{q}}}{\partial x^{k_{q}}} \frac{\partial x^{l_{1}}}{\partial x^{' i_{1}}} \dots \frac{\partial x^{l_{p}}}{\partial x^{' i_{p}}} T_{l_{1}, \dots, l_{p}}^{k_{1}, \dots, k_{q}} . \end{matrix}

曲线坐标系下的张量坐标变换（仿射空间）

定理 1 张量场的坐标转换关系

1. 证明

定理 1　张量场的坐标转换关系