贡献者： 零穹
在仿射空间中的曲线坐标系一节中，我们知道，在区域 $\Omega$ 中给定一个曲线坐标，就相当于在 $\Omega$ 中的每一点 $M$ 上给出了一个局部标架 $\{M;\partial_1 x,\cdots,\partial_n x\}$，其中 $x$ 是点 $M$ 的向径。在相当多的情形下，都是认为仿射空间取任意的曲线坐标 $x^i$，因而在每一点 $M$ 产生一个局部标架，于是点 $M$ 处的张量 $T(M)$ 的坐标，都是在这一标架下取的。这些坐标简单的叫作张量 $T(M)$ 在已知曲线坐标系 $x^i$ 中的坐标。在 $\Omega$ 上每一点 $M$ 处给定一个张量 $T(M)$ 就叫作在 $\omega$ 上给定了一个张量场。本节将给出在两个曲线坐标系下的张量场的坐标变换规律。我们这里将继续遵守用张量坐标形式来代表张量本身，要还原张量本身只需加上基底即可。
定理 1 张量场的坐标转换关系
设 $T^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p},T'^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}$ 分别是曲线坐标 $x^i$ 和 $x'^i$ 下对应的张量场，则
\begin{equation}
T'^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}= \frac{\partial x'^{j_1}}{\partial x_{k_1}} \cdots \frac{\partial x'^{j_q}}{\partial x^{k_q}} \frac{\partial x^{l_1}}{\partial x'^{i_1}} \cdots \frac{\partial x^{l_p}}{\partial x'^{i_p}} T^{k_1,\cdots,k_q}_{l_1,\cdots,l_p}~.
\end{equation}
1. 证明
由张量的坐标变换知道，若基底 $\{e_i\}$ 到基底 $\{e'_i\}$ 的转换矩阵为 $A^i_j$，逆矩阵为 $B^i_j$，那么任意张量 $T$ 在这两基底下的坐标变换规律（见张量的坐标变换）为
\begin{equation}
T'^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}=B^{j_1}_{k_1}\cdots B^{j_q}_{k_q}A^{l_1}_{i_1}\cdots A^{l_p}_{i_p}T^{k_1,\cdots,k_q}_{l_1,\cdots,l_p}~.
\end{equation}
对 $\Omega$ 上任一点 $M$，有（
子节 4 ）
\begin{equation}
A^i_j= \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} (M),\quad B^i_j= \frac{\partial x'^i}{\partial x_j} (M)~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
T'^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}(M)= \frac{\partial x'^{j_1}}{\partial x_{k_1}} (M)\cdots \frac{\partial x'^{j_q}}{\partial x^{k_q}} (M) \frac{\partial x^{l_1}}{\partial x'^{i_1}} (M)\cdots \frac{\partial x^{l_p}}{\partial x'^{i_p}} T^{k_1,\cdots,k_q}_{l_1,\cdots,l_p}(M)~,
\end{equation}
上式可记为
\begin{equation}
T'^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}(M)= \left( \frac{\partial x'^{j_1}}{\partial x_{k_1}} \cdots \frac{\partial x'^{j_q}}{\partial x^{k_q}} \frac{\partial x^{l_1}}{\partial x'^{i_1}} \cdots \frac{\partial x^{l_p}}{\partial x'^{i_p}} T^{k_1,\cdots,k_q}_{l_1,\cdots,l_p} \right) (M)~.
\end{equation}
由点 $M$ 的任一性，所以对 $\Omega$ 上任一张量场 $T^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}$，其在曲线坐标 $x^i$ 和 $x'^i$ 之间的坐标转换关系为
\begin{equation}
T'^{j_1,\cdots,j_q}_{i_1,\cdots,i_p}= \frac{\partial x'^{j_1}}{\partial x_{k_1}} \cdots \frac{\partial x'^{j_q}}{\partial x^{k_q}} \frac{\partial x^{l_1}}{\partial x'^{i_1}} \cdots \frac{\partial x^{l_p}}{\partial x'^{i_p}} T^{k_1,\cdots,k_q}_{l_1,\cdots,l_p}~.
\end{equation}