仿射空间中的曲线坐标系

贡献者：零穹

预备知识　仿射空间

1. 曲线坐标系

　　设 ${\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是仿射空间 $A$ 中的坐标系。则对其上任一点 $M$ ，其坐标为矢量 $\vec{O M} = x^{i} e_{i}$ 的坐标（采取坐标和基矢指标的对立约定及爱因斯坦求和约定）。若选择一新坐标系 ${{\dot{o}}^{'}; e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ ，则点的坐标变换规则为（定理 4 ）

\begin{matrix} (1) & x^{' i} = {B^{i}}_{j} x^{j} - {B^{i}}_{j} b^{j} . \end{matrix}

其中，

{B^{i}}_{j}

是基

{e_{1}, \dots, e_{n}}

到基

{e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}

的转换矩阵

{A^{i}}_{j}

的逆矩阵。而

b^{i}

是

{\dot{o}}^{'}

在旧坐标系

{\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}

中的坐标。

　　到目前为止，点的描述都是在仿射坐标（即对应基底 ${e_{i}}$ 的坐标）下进行的，下面将建立曲线坐标的概念来描述点的坐标。为描述方便，先引进仿射空间中领域和 $n$ 维区域的概念。

定义 1　领域， $n$ 维区域

　　设 $A$ 是 $n$ 维仿射空间，点 $M = x^{i} e_{i} \in A$ 的 $δ$ 领域是指坐标满足

\begin{matrix} (2) & \sum_{i}^{n} (x^{' i} - x^{i})^{2} < δ^{2} \end{matrix}

的所有点

M^{'} = x^{' i} e_{i}

构成的集合。

　　若 $Ω$ 是 $A$ 中这样一个集合：对 $Ω$ 中任一点 $M$ ，必有 $M$ 的某个领域也属于 $Ω$ 。则称 $Ω$ 是 $A$ 中的 $n$ 维区域。若区域 $Ω$ 中任一点都可连续的变动到 $Ω$ 中的另一点，即一点的坐标连续变化到另一点的坐标，则区域 $Ω$ 称为连通的。

　　凡提到区域总是指连通区域。

定义 2　曲线坐标

　　设 $Ω \in A$ 是一 $n$ 维连通区域，在其上给定仿射坐标的 $n$ 个连续可微的单值函数 $f_{k} (x^{1}, \dots, x^{n})$ （ $k = 1, \dots, n$ ），且函数组 ${f_{i}}$ 是可逆的。则新定义的变量

\begin{matrix} (3) & x^{' i} = f_{i} (x^{1}, \dots, x^{n}), i = 1, \dots, n \end{matrix}

称为

Ω

上的曲线坐标。

　　注：函数组 ${f_{i}}$ 的可逆性意味着

\begin{matrix} (4) & x^{i} = g_{i} (x^{' 1}, \dots, x^{' n}), (i = 1, \dots, n), \end{matrix}

且

g_{i}

也是连续可微的单值函数，且函数组

{g_{i}}

也是可逆的。所谓的连续可微，是指具有直到某一阶数

N

的连续偏导数。通常并不预先说明具体的

N

值，而是简单地写出已知阶的导数就表明假定这些导数的存在和连续。

定理 1　

　　设

\begin{matrix} (5) & x^{' i} = f_{i} (x^{1}, \dots, x^{n}), i = 1, \dots, n \end{matrix}

是区域

Ω

的曲线坐标，则正逆变换的雅可比行列式均不为 0：

\begin{matrix} (6) & det | \frac{\partial x^{' i}}{\partial x^{j}} | \neq 0; det | \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' j}} | \neq 0, \end{matrix}

且

\frac{\partial x^{' i}}{\partial x^{j}}

和

\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' j}}

对应的矩阵是互逆的。

　　 证明：由于定义曲线坐标的函数组 ${f_{i}}$ 是可逆的，即变量 ${x^{' i}}$ 和 ${x^{i}}$ 之间可相互单值的表示，那么可把 $x^{j}$ 看成 ${x^{i}}$ 的复合函数。于是：

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}} = \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' k}} \frac{\partial x^{' k}}{\partial x^{j}} . \end{matrix}

由于自变量的导数

\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}} = δ_{j}^{i}

，那么

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}} = \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' k}} \frac{\partial x^{' k}}{\partial x^{j}} = δ_{j}^{i} . \end{matrix}

即

\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' k}}

和

\frac{\partial x^{' k}}{\partial x^{j}}

对应矩阵的积是一个单位矩阵，所以它们对应的矩阵是互逆的，因而对应行列式不为 0，即式 6 是成立的。

　　 证毕！

　　利用式 4 用曲线坐标 $x^{' i}$ 来代替仿射坐标 $x^{i}$ ，点 $M$ 的向径 $\vec{O M} = x^{i} e_{i}$ 可表达成

\begin{matrix} (9) & \vec{O M} = g_{i} (x^{' 1}, \dots, x^{' n}) e_{i} . \end{matrix}

将

\vec{O M}

简记为

x

，则可写为

\begin{matrix} (10) & x = x (x^{' 1}, \dots, x^{' n}) . \end{matrix}

　　下面的定理在以后都起着重要的作用。

定理 2　

　　所有偏导数 $\frac{\partial x}{\partial x^{' i}}, i = 1, \dots, n$ 在每一点都是线性无关的矢量。

　　 证明：式 9 关于 $x^{' i}$ 微分，得

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial x}{\partial x^{' i}} = \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}} e_{j} . \end{matrix}

由定理 1 ，系数

\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}}

对应的矩阵行列式

det | \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}} | \neq 0

，所以矢量

\frac{\partial x}{\partial x^{' i}}

是线性无关的。

　　 证毕！

2. 坐标曲线

　　在引入了曲线坐标后，直接记 $x^{i}$ 为曲线坐标而不带撇号，那么区域 $Ω$ 上任一点 $M$ 的向径 $x$ ，可表示为

\begin{matrix} (12) & x = x (x^{1}, \dots, x^{n}) . \end{matrix}

　　要很好的理解坐标系的结构，坐标曲线是很有用的。

定义 3　坐标曲线

　　在区域 $Ω$ 中，曲线坐标中只有某一个不同的所有点构成的集合称为坐标曲线，若该不同的坐标为 $x^{i}$ ，则该曲线称为坐标曲线 $x^{i}$ 。

　　也就是说，在坐标曲线上仅有一个坐标在变化，而其余坐标保持常数。

　　由坐标曲线的定义， $\frac{\partial x}{\partial x^{i}}$ 是坐标曲线 $x^{i}$ 的切矢量，所以通过 $Ω$ 上的每一点 $M$ ，有 $n$ 条切矢量各为 $\frac{\partial x}{\partial x^{i}}$ 的坐标曲线，这些矢量记作 $\partial_{i} x = \frac{\partial x}{\partial x^{i}}$ ，由定理 2 ，它们是线性无关的。

3. 局部标架

　　由于在点 $M$ 处， $n$ 个矢量 $\partial_{i} x$ 是线性无关的，因为在每一点 $M$ 都可取这些矢量为仿射标架矢量 ${M; \partial_{1} x, \dots, \partial_{n} x}$ 。 $x = x (x^{1}, \dots, x^{n})$ 中的 $x^{i}$ 是曲线坐标，这就是说，给定了曲线坐标，就在每一点 $M$ 引出了一个完全确定的仿射标架。

定义 4　局部标架

　　在区域 $Ω$ 中，曲线坐标在每一点 $M$ 引出的仿射标架 ${M; \partial_{1} x, \dots, \partial_{n} x}$ ，称作点 $M$ 的局部标架（或局部坐标系）。

曲线坐标和仿射坐标的关系

　　在仿射坐标下，从点 $M (x^{i})$ 到点 $L (y^{i})$ 的变动下，坐标的增量即是位移矢量 $\vec{M L}$ 的坐标：

\begin{matrix} (13) & \vec{M L} = \vec{O L} - \vec{O M} = (y^{i} - x^{i}) e_{i} . \end{matrix}

这就是仿射坐标的实质。

　　在曲线坐标下，从点 $M (x^{i})$ 移动到一无限接近的点 $L (x^{i} + Δ x^{i})$ 时，其点 $M$ 的向径 $x$ 的增量 $\vec{M L}$ 为（忽略高阶无穷小量）

\begin{matrix} (14) & \vec{M L} = \vec{O L} - \vec{O M} = x (x^{i} + Δ x^{i}) - x (x^{i}) = \partial_{i} x Δ x^{i} . \end{matrix}

　　注意 $\partial_{i} x$ 是在点 $M$ 处的局部标架，这就是说，在局部标架 ${M; \partial_{1} x, \dots, \partial_{n} x}$ 中，位移矢量 $\vec{M L}$ 具有的坐标，近似地等于曲线坐标的增量 $Δ x^{i}$ 。

　　因此，在点 $M$ 的无穷小邻域内，曲线坐标的增量 $Δ x^{i}$ ，和点 $M$ 的局部标架 ${M; \partial_{1} x, \dots, \partial_{n} x}$ 下的仿射坐标，在一阶无穷小的精度内（式 14 ），完全相同。

4. 不同曲线坐标间的局部标架转换关系

　　设有另一曲线坐标 $x^{' i}$ ，则曲线坐标 $x^{i}$ 和 $x^{' i}$ 可相互表示。于是向径 $x$ 可看着 $x^{' i}$ 的复合函数，那么

\begin{matrix} (15) & \frac{\partial x}{\partial x^{' i}} = \frac{\partial x}{\partial x^{j}} \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}}, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (16) & \partial_{i}^{'} x = \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}} \partial_{j} x . \end{matrix}

　　因此，下面定理成立

定理 3　标架转化关系

　　设 $x^{i}$ 和 $x^{' i}$ 是不同的曲线坐标，则两曲线坐标对应的局部标架矢量转换关系为

\begin{matrix} (17) & \partial_{i}^{'} x = \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}} \partial_{j} x, \partial_{j} x = \frac{\partial x^{' i}}{\partial x^{j}} \partial_{i}^{'} x . \end{matrix}

　　注意基 ${e_{i}}$ 到基 ${e_{i}^{'}}$ 的转换关系为

\begin{matrix} (18) & e_{i}^{'} = A_{i}^{j} e_{j}, e_{j} = B_{j}^{i} e_{i}^{'} . \end{matrix}

于是，若基

{e_{i}}

为基

{\partial_{i} x}

，基

{e_{i}^{'}}

为基

{\partial_{i}^{'} x}

，那么

A_{i}^{j} = \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{' i}}, B_{j}^{i} = \frac{\partial x^{' i}}{\partial x^{j}}

。

仿射空间中的曲线坐标系

1. 曲线坐标系

定义 1 领域，n 维区域

定义 2 曲线坐标

定理 1

定理 2

2. 坐标曲线

定义 3 坐标曲线

3. 局部标架

定义 4 局部标架

曲线坐标和仿射坐标的关系

4. 不同曲线坐标间的局部标架转换关系

定理 3 标架转化关系

定义 1　领域， $n$ 维区域

定义 2　曲线坐标

定理 1　

定理 2　

定义 3　坐标曲线

定义 4　局部标架

定理 3　标架转化关系