四阶龙格库塔法（Matlab）

贡献者： addis

预备知识　中点法解常微分方程（组）

　　¹龙格库塔法（Runge-Kutta）是一类数值解微分方程或方程组的算法，其中较常见的是四阶龙格库塔法。这里不进行推导，仅仅给出算法。如果你不想了解算法只想用 Matlab 自带的解算器直接求解方程，见 “Matlab 解常微分方程组（ode45）”。

　　公式如下（$y_n, t_n, h$ 的定义类比式 5 ）

\begin{equation} y_{n+1} = y_n + \frac h6 (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)~, \end{equation}

其中

\begin{equation} \begin{aligned} k_1 &= f(y_n, t_n)~, & k_2 &= f \left(y_n + h\frac{k_1}{2}, t_n + \frac h2 \right) ~,\\ k_3 &= f \left(y_n + h\frac{k_2}{2}, t_n + \frac h2 \right) ~, \qquad &k_4 &= f(y_n + hk_3, t_n + h)~. \end{aligned} \end{equation}

由以上两式，不难把该算法拓展到方程组的情况。对于 $N$ 元微分方程组

\begin{equation} \begin{cases} y'_1(t) = f_1(y_1,\dots, y_N, t)\\ y'_2(t) = f_2(y_1,\dots, y_N, t)\\ \qquad\;\; \vdots\\ y'_N(t) = f_N(y_1,\dots, y_N, t)~. \end{cases} \end{equation}

我们可以把该式记为矢量函数的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{y}} '(t) = \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)~, \end{equation}

其中

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{y}} '(t) = \begin{pmatrix}y'_1(t)\\ \vdots\\ y'_N(t)\end{pmatrix} ~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{y}} = \begin{pmatrix}y_1\\ \vdots\\ y_N\end{pmatrix} ~. \end{equation}

现在我们仅需要把式 1 和式 2 中的所有 $y_i$ 和 $k_i$ 都变为 $N$ 维列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _i$ 即可将微分方程拓展为微分方程组。

1. 例程：天体运动

　　到目前为止，我们每求一个微分方程的数值解都要重新写一次程序，对于一些较为复杂的算法这样做效率较低。我们这里不妨把四阶龙格库塔法写到一个单独的函数文件 odeRK4.m 中，当我们要解某个特定的方程时，只需把式 2 中的 $f(y, t)$ 作为自变量输入即可解出 $y(t)$。这样的程序就叫做微分方程的解算器，它可以求解用户自定义的微分方程。

代码 1：odeRK4.m

% 四阶龙格库塔定步长节微分方程
% f(Y, t): 求导函数
% tspan: 二元向量，起始和终止时间
% Y0: 初值（列向量）
% Nt: 时间节点数
function [Y, t] = odeRK4(f, tspan, Y0, Nt)
Nvar = numel(Y0);  % 因变量的个数
dt = (tspan(2) - tspan(1)) / (Nt-1); % 计算步长
Y = zeros(Nvar, Nt); % 预赋值
Y(:, 1) = Y0(:); % 初值
t = linspace(tspan(1), tspan(2), Nt);

for ii=1:Nt-1
    K1 = f(Y(:,ii)          , t(ii)      );
    K2 = f(Y(:,ii)+K1*dt/2  , t(ii)+dt/2 );
    K3 = f(Y(:,ii)+K2*dt/2  , t(ii)+dt/2 );
    K4 = f(Y(:,ii)+K3*dt    , t(ii)+dt   );
    Y(:,ii+1) = Y(:,ii) + dt/6 * (K1+2*K2+2*K3+K4);
end
end

　　我们先来看第 1 行的函数声明，输入变量中，f 是式 4 中 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$ 的函数句柄，tspan 是一个 2×1 的列矢量，tspan(1) 是初始时间，tspan(2) 是终止时间，Y0 是一个列矢量，Y0(ii) 是第 ii 个因变量的初始值，Nt 是 $t_n$ 的个数，tspan 定义的时间区间被等分为 Nt - 1 个小区间。因变量中，Y 的行数是因变量的个数，列数是 Nt，t 是一个行矢量，由第 6 行定义，Y(ii, jj) 就是第 ii 个变量在 t(jj) 时刻的值。第 5 行把初值 Y0 赋给 Y 的第 1 列，第 8-14 行的循环根据式 1 和式 2 的矢量形式由 Y 的第 ii 列（$ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i$）求第 ii+1 列（$ \boldsymbol{\mathbf{y}} _{i+1}$）。

　　我们先来用这个函数来计算 “天体运动的简单数值计算” 中的问题。我们令因变量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的四个分量依次为一阶方程组（式 4 ）

\begin{equation} \begin{cases} x' = v_x\\ y' = v_y\\ v'_x = -GMx/(x^2 + y^2)^{3/2}\\ v'_y = -GMy/(x^2 + y^2)^{3/2} \end{cases}~ \end{equation}

中的 $x, y, v_x, v_y$。程序代码如下

代码 2：keplerRK4.m

function keplerRK4
% 参数设定
GM = 1; % 万有引力常数乘以中心天体质量
x0 = 1; y0 = 0; % 初始位置
vx0 = 0; vy0 = 0.7; % 初始速度
tspan = [0; 4]; % 总时间和步数
Nt = 100; % 步数

Y0 = [x0; y0; vx0; vy0]; % 因变量初值
f = @(Y, t)fun(Y, t, GM);
[Y,~] = odeRK4(f, tspan, Y0, Nt);

% 画图
figure; hold on;
plot(Y(1,:), Y(2,:));
scatter(0, 0);
axis equal;
end

function Y1 = fun(Y, ~, GM)
% 因变量
x = Y(1); y = Y(2);
vx = Y(3); vy = Y(4);
Y1 = zeros(4,1); % 预赋值
Y1(1) = vx;
Y1(2) = vy;
temp = -GM /(x^2 + y^2)^(3/2);
Y1(3) = temp * x;
Y1(4) = temp * y;
end

　　运行结果如图 1 所示。

图 1：运行结果

　　我们先来看函数 fun（20 行），这个函数就相当于式 6 。第一个输入变量 Y 是一个列矢量，是 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} _n$ 的值，第二个输入变量是 $t$，但由于式 6 中没有出现 $t$，我们用波浪线代替。第三个输入变量是参数 $GM$，即万有引力常数和中心天体质量之积。输出变量 Y1 是一个列矢量，是 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} '_n$ 的值。

　　再来看主函数 KeplerRK4（第 1 行），参数设定中除了步数从 4000 变为了 100，其他都和 “天体运动的简单数值计算” 中的程序一样，然而这里运行结果却精确得多（曲线几乎闭合），可见这种算法的优越性。

　　主函数第 10 行中将 fun(Y, t, GM) 变为函数句柄 f(Y, t)，这样 GM 就可以在 “参数设定” 中设置，而不用在 fun 函数内部设置。第 11 行调用了上文中的 odeRK4 函数解方程组，由于我们在画图时不需要用 t，所以把第二个输出变量改为波浪线。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。