常微分方程（组）的数值解
贡献者： addis
数值解微分方程或微分方程组时，一般需要先把微分方程（组）化成一阶微分方程组。例如在 “弹簧振子受迫运动的简单数值计算” 中列出的微分方程为
\begin{equation}
m y'' = \alpha y' - ky + f(t)~.
\end{equation}
新增变量，令 $v = y'$，则可变为一阶微分方程组
\begin{equation}
\begin{cases}
v' = [-\alpha u - ky + f(t)]/m\\
y' = v
\end{cases}~.
\end{equation}
方程组中，$t$ 是自变量，$y$ 和 $u$ 是 $t$ 的函数。给出某时刻的 $y(t), u(t), t$ 就可以通过方程组求出 $u'(t)$ 和 $y'(t)$ 的数值。
又例如在 “天体运动的简单数值计算” 中，列出的二阶微分方程组为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x'' &= -\frac{GM}{(x^2+y^2)^{3/2}}x\\
y'' &= -\frac{GM}{(x^2+y^2)^{3/2}}y
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
新增变量，令 $v_x = x'$，$v_y = y'$，上式也可变为一阶微分方程组
\begin{equation}
\begin{cases}
x' = v_x\\
v'_x = -GMx/(x^2 + y^2)^{3/2}\\
y' = v_y\\
v'_y = -GMy/(x^2 + y^2)^{3/2}
\end{cases}~.
\end{equation}
该式中同样 $t$ 是自变量，其他都是 $t$ 的函数，给出某时刻的 $x, y, v_x, v_y, t$ 就可以由该方程组求出各函数的一阶导数。
在以上两个例子中，我们使用了一种较为原始的方法（微分近似）。这种方法相当于把某时刻 $t$ 的各函数值代入一阶微分方程组，得到 $t$ 时刻各函数的一阶导数，再通过微分近似由这些一阶导数来计算其 $[t, t + \Delta t]$ 时间内的增量，得到 $t +\Delta t$ 时刻的各函数值，再代入一阶方程组得到 $t +\Delta t$ 时刻各函数的一阶导数，如此一直循环，得到各函数每隔 $\Delta t$ 时间的值。这种方法叫做欧拉法。对一阶常微分方程 $y'(t) = f(y, t)$，令 $h = \Delta t$，$t_n = t_0 + nh$，$y_n = y(t_n)$ 欧拉法可以表示为
\begin{equation}
y_{n+1} = y_n + h f(y_n, t_n)~.
\end{equation}
以下介绍三种更精确的算法，在步长（$\Delta t$）相同时它们的精确度递增。注意虽然大多数问题中自变量是时间，但这些方法适用于大多数单个自变量的微分方程（组）。