中点法解常微分方程（组）

贡献者： addis

预备知识　常微分方程（组）的数值解

　　我们先来尝试用欧拉法解一阶微分方程

\begin{equation} y'(t) = y~. \end{equation}

令初始条件为 $y(0) = 1$。令步长为 $h = 0.5$，步数为 $5$，结果如图 1 所示（代码见文章最后）。

图 1：欧拉法数值解（蓝）和解析解（红）

　　我们知道该方程的解析解为 $y = \mathrm{e} ^{t}$。对比数值解和解析解，不难分析出误差产生的原因：我们仅用每段步长区间左端的导数预测整个区间的曲线增量。如果我们能利用每个区间中点的导数计算整个区间的增量，这个预测将会比欧拉法更精确。

　　考虑微分方程 $y'(t) = f(y, t)$ 在区间 $[t_n, t_{n+1}]$ 的曲线，若我们已知区间左端的函数值为 $y_n$，我们可以先用微分近似估计曲线中点的函数值为

\begin{equation} y \left(t_n + \frac h2 \right) = y_n + \frac h2 f(y_n, t_n)~. \end{equation}

然后再求出这个近似中点的导数为

\begin{equation} y' \left(t_n + \frac h2 \right) = f \left[y_n + \frac h2 f(t_n, y_n), t_n + \frac h2 \right] ~. \end{equation}

最后我们利用这个导数估算该区间的曲线增量

\begin{equation} y_{n+1} = y_n + hy' \left(t_n + \frac h2 \right) = y_n + h f \left[y_n + \frac h2 f(t_n, y_n), t_n + \frac h2 \right] ~. \end{equation}

这就是解常微分方程的中点法。

　　我们再来用中点法取同样的步长计算式 1 ，结果如图 2 所示。

图 2：中点法数值解（蓝）和解析解（红）

　　可见虽然中点法每一步的计算过程比欧拉法稍微复杂一些，但精度却大大地提高了。

　　中点法同样适用于微分方程组，例如对于常微分方程组

\begin{equation} \begin{cases} x'(t) = f(x, y, t)\\ y'(t) = g(x, y, t) \end{cases}~. \end{equation}

首先计算近似中点为

\begin{equation} \begin{cases} x_{n+1/2} = x_n + \frac{h}{2} f(x_n, y_n, t_n)\\ y_{n+1/2} = y_n + \frac{h}{2} g(x_n, y_n, t_n) \end{cases}~. \end{equation}

然后有

\begin{equation} \begin{cases} x_{n+1} = x_n + h f \left(x_{n+1/2}, y_{n+1/2}, t_n + h/2 \right) \\ y_{n+1} = y_n + h g \left(x_{n+1/2}, y_{n+1/2}, t_n + h/2 \right) \end{cases}~. \end{equation}

代码 1：odeMid.m

% 设置参数
N = 6;
h = 0.5;
t = linspace(0, (N-1)*h, N); % 自变量
t0 = linspace(0, (N-1)*h, 100); % 用于画图

% 欧拉法
y = zeros(1,N); % 预赋值
y(1) = 1; % 初值
for ii = 1:N-1
    y(ii+1) = y(ii) + h*y(ii);
end

% 画图
figure;
plot(x,y,'+-');
hold on;
plot(t0, exp(t0));

%中点法
y = zeros(1,N);
y(1) = 1;
for ii = 1:N-1
    y(ii+1) = y(ii) + h*(y(ii) + 0.5*h*y(ii));
end

% 画图
figure;
plot(x,y,'+-');
hold on;
plot(x0, exp(x0));