贡献者： JierPeter; chain_
预备知识 一阶常微分方程解法：常数变易法
，一阶常微分方程解法：恰当方程
我们之前讨论的常微分方程都是显式写出导函数表达式的，即 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=F(x, y)$ 的形式。很多时候，一阶微分方程常被写为 $F(x, y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$ 的形式，如果这样的方程可以被改写为显式的形式，那么我们就可以尝试用预备知识中介绍过的方法来解方程；但如果难以改写或者解出来的形式极为复杂，那我们也可以尝试换元的方法。
本节介绍四种一阶隐式方程和它们的换元方法。
1. 第一种
第一个要讨论的是形如
\begin{equation}
y=f(t, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{t} })~
\end{equation}
的方程。这里自变量用的是通常代表时间的 $t$，为的是提示该怎么换元——如果 $y$ 是位移，那 $ \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{t} $ 就是速度，这就是我们要的变换。
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{t} }$，则原方程变为 $y=f(t, v)$。在方程两边同时对 $t$ 求导，得到
\begin{equation}
v=\frac{\partial f(t, v)}{\partial t}+\frac{\partial f(t, v)}{\partial v}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{t} }~.
\end{equation}
式 2 就是一个关于 $t, v$ 的一阶微分方程，用我们之前讨论过的方法就可以解出，再将解出的 $v$ 代回式 1 即可得到原方程的通解。
例 1
考虑方程
\begin{equation}
y= \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+2x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }~,
\end{equation}
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，代入
式 3 ，并两端对 $x$ 求导，则
式 3 化为
\begin{equation}
v=2v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+2v+2x\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }~,
\end{equation}
整理一下，得
\begin{equation}
v \,\mathrm{d}{x} +(2v+2x) \,\mathrm{d}{v} =0~.
\end{equation}
这不是一个恰当方程
1，不过我们可以给它添加一个积分因子 $f(v)= \mathrm{e} ^{\int 1/v \,\mathrm{d}{v} }=v$，把它变成一个恰当方程
\begin{equation}
v^2 \,\mathrm{d}{x} +(2v^2+2xv) \,\mathrm{d}{v} =0~.
\end{equation}
令 $u(x, v)=v^2x+\frac{2}{3}v^3$，那么 $ \,\mathrm{d}{u} =v^2 \,\mathrm{d}{x} +(2v^2+2xv) \,\mathrm{d}{v} $。
因此，式 3 的通解为 $u=C$，即
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\begin{aligned}
v^2x+\frac{2}{3}v^3&=C\\
v^2+2xv&=y~.
\end{aligned}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
例 2
考虑方程
\begin{equation}
5 \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+5x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+x^2=y~.
\end{equation}
令 $v= \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $，两边对 $x$ 求导，则原方程化为
\begin{equation}
10v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+5v+5x\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+2x=v~,
\end{equation}
整理得
\begin{equation}
10v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+5x\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+4v+2x=0~.
\end{equation}
式 10 还可以进一步整理为
\begin{equation}
(\frac{5}{2}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+1)(4v+2x)=0~.
\end{equation}
由 $\frac{5}{2}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+1=0$ 得通解
\begin{equation}
v=-\frac{2}{5}x+C~.
\end{equation}
代入 $v= \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 和
式 8 就得到原方程的
第一个通解
\begin{equation}
y=-\frac{1}{5}x^2+C_1x+5C_1^2~,
\end{equation}
其中 $C_1$ 是积分常数。
但这个方程还有一个特解：取 $4v+2x=0$，再代入 $v= \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 和式 8 ，得到
\begin{equation}
y=-\frac{1}{4}x^2~,
\end{equation}
因此，
式 13 和
式 14 都是
式 8 的通解。
例 2 较为复杂，我们在这里做一点补充。
整个例 2 的求解思路，是首先作变量代换，去解式 9 ，其结果就是式 12 和 $4p+2=0$。但这是式 9 的解，由于求导会把一些常数项消掉，式 9 的解会比变量代换前的式 8 多一些，我们还是得代回式 8 看看该怎么约束。
实际上在解答过程中，式 13 是先写为 $y=-\frac{1}{5}x^2+C_1x+C_2$ 的，有两个待定常数。这是式 9 的解。我们把它代回式 8 ，计算后发现 $C_2=5C_1^2$，因此最终写成了式 13 的形式。
如果把式 13 和式 14 的图像画出来，我们会发现，式 14 内切于每一条式 13
。式 14 被称为一个奇解，其图像也被称为包络线包络和奇解}。
未完成：添加展示包络线的 gif。
2. 第二种
第二个是形如
\begin{equation}
x=f(y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })~
\end{equation}
的方程。
同样令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，代入式 15 并两边同时对 $y$ 求导，得到
\begin{equation}
\frac{1}{v}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{y} }~.
\end{equation}
整理一下得
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial v} \,\mathrm{d}{v} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{1}{v} \right) \,\mathrm{d}{y} =0~,
\end{equation}
我们就可以尝试用之前的办法来解。
例 3
考虑方程
\begin{equation}
\left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+2y=0~.
\end{equation}
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，代入式 18 ，整理得
\begin{equation}
x=\frac{-v^2-2y}{v}=-v-\frac{2y}{v}~.
\end{equation}
两边关于 $y$ 求导，整理得（或者直接把式 19 代入式 17 得）
\begin{equation}
\left(-1+\frac{2y}{v^2} \right) \,\mathrm{d}{v} + \left(-\frac{3}{v} \right) \,\mathrm{d}{y} =0~.
\end{equation}
按照在一阶常微分方程解法：恰当方程中讨论的方法，式 20 有一个积分因子 $h(v)=v^{1/3}$，从而将式 20 化为
\begin{equation}
\left(-v^{1/3}+\frac{2y}{v^{5/3}} \right) \,\mathrm{d}{v} + \left(-\frac{3}{v^{2/3}} \right) \,\mathrm{d}{y} =0~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(-\frac{3}{4}v^{4/3}-\frac{3y}{v^{2/3}} \right) =0~,
\end{equation}
也即
2
\begin{equation}
-\frac{1}{4}v^{4/3}-\frac{y}{v^{2/3}}=C~,
\end{equation}
整理得
\begin{equation}
y=-\frac{1}{4}v^2-Cv^{2/3}~.
\end{equation}
利用 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，再代回式 18 ，得到
\begin{equation}
x=-\frac{1}{2}v+Kv^{-1/3}~,
\end{equation}
其中 $K=2C$ 是常数。
式 24 和式 25 就是以 $v$ 为参数的式 18 的通解。
3. 第三种
形如 $F(x, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$ 的方程。
同样令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，我们发现 $F(x, v)=0$ 是 $Oxv$ 平面上的一条曲线。用参数 $t$ 来表示这条曲线：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x=\varphi(t)\\
v=\phi(t)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
那么 $x$ 相当于已经解出来了，接下来只需要考虑 $y$ 怎么用参数 $t$ 表示。
由于 $v \,\mathrm{d}{x} = \,\mathrm{d}{y} $ 恒成立，代入式 26 后可得
\begin{equation}
\phi(t)\varphi'(t) \,\mathrm{d}{t} = \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
y=\int \phi(t)\varphi'(t) \,\mathrm{d}{t} +C~.
\end{equation}
这样，式 26 和式 28 结合，就能得到参数形式的解。
例 4
考虑方程
\begin{equation}
x^2- \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^3+x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=0~.
\end{equation}
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 得
\begin{equation}
x^2-v^3+xv=0~.
\end{equation}
设 $v=tx$，那么
式 30 化为
\begin{equation}
-t^3x^3+(1-t)x^2=0~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
x^2 \left(t^3x+t-1 \right) =0~.
\end{equation}
由式 30 可知 $x$ 不恒为 $0$，因此式 32 可以用参数 $t$ 解出 $x$：
\begin{equation}
x=\frac{1-t}{t^3}~.
\end{equation}
又因为
\begin{equation}
v=tx=\frac{1-t}{t^2}~
\end{equation}
和
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{2t-3}{t^4}~,
\end{equation}
故
\begin{equation}
y=\int \frac{1-t}{t^2}\cdot\frac{2t-3}{t^4} \,\mathrm{d}{t} =\frac{40t^2-75t+36}{60t^5}+C~.
\end{equation}
这样，
式 33 和
式 36 就构成一组参数解。
4. 第四种
形如 $F(y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$ 的方程。
解法类似第三种。令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，将 $F(y, v)=0$ 写成参数曲线的形式：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
y=\varphi(t)\\
v=\phi(t)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
那么由 $ \,\mathrm{d}{x} =\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{v}$，可知
\begin{equation}
x=\int \frac{\varphi'(t)}{\phi(t)} \,\mathrm{d}{t} +C~.
\end{equation}
这样，
式 37 和
式 38 就构成一组参数解。
例 5
考虑方程
\begin{equation}
\left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2-y\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+y^3=0~.
\end{equation}
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，
式 39 化为
\begin{equation}
v^2-vy+y^3=0~.
\end{equation}
令 $y=tv$，那么
式 40 化为
\begin{equation}
t^3v^3+(1-t)v^2=0~.
\end{equation}
由
式 40 ，$v$ 不恒为 $0$，因此
式 41 等价于
\begin{equation}
v=\frac{t-1}{t^3}~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
y=tv=\frac{t-1}{t^2}~,
\end{equation}
由于 $ \,\mathrm{d}{x} =\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{v}$，故
\begin{equation}
\begin{aligned}
x
&=\int \frac{1}{v} \,\mathrm{d}{v} +C\\
&=\int \frac{t^3}{t-1}\cdot\frac{2-t}{t^3} \,\mathrm{d}{t} +C\\
&=\ln \left\lvert t-1 \right\rvert -t+C~.
\end{aligned}
\end{equation}
式 43 和式 44 就构成一组参数解。
1. ^ $\frac{\frac{\partial (2v+2x)}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial v}}{v}=\frac{1}{v}$ 是 $v$ 的函数，因此我们可以为它找到一个积分因子 $f(v)$。
2. ^ 注意这一步跳步了，约掉了一个 $3$。