贡献者： JierPeter
观察以下方程：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)~,
\end{equation}
其中 $P$ 和 $Q$ 都是所考虑区间上的连续函数。
这样的方程被称作 “一阶线性方程”，其中如果 $Q(x)=0$，则还可以称之为 “齐次” 的方程，否则便是 “非齐次” 的。
容易看出，一阶齐次线性方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y$ 就是变量可分离方程，我们已经在预备知识一阶常微分方程解法：变量可分离方程中详细讨论过了。
习题 1
证明：$\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y$ 的通解是 $y=C \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }$。
习题 1 给出了齐次方程的解，其中含一个待定常数 $C$。非齐次方程是齐次方程的拓展，可以用常数变易法来解。
常数变易法就是将齐次方程解中的 $C$ 拓展为一个待定函数 $C(x)$，再代回非齐次方程，看看能不能解出这个 $C(x)$；如果能，那么非齐次方程也就得解了。
常数变易法的推导
考虑方程式 1 。根据齐次方程的解习题 1 ，假设式 1 的解是 $y=C(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }$。
则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=C'(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+C(x)P(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
比较式 1 和式 1 ，发现
\begin{equation}
Q(x)=C'(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }~,
\end{equation}
或改写为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{C} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }}~,
\end{equation}
这是一个变量可分离方程。移项、积分后，得到其通解
\begin{equation}
C(x)=\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K~,
\end{equation}
其中 $K$ 为积分常数。
因此，式 1 的解就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
y&=C(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }\\
&= \left(\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 1
考虑方程
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=2xy+x~
\end{equation}
和
式 1 比较可得，$P(x)=2x$，$Q(x)=x$。
因此，根据式 6 ，该方程的通解为
\begin{equation}
\begin{aligned}
y&= \left(\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }\\
&= \left(\int\frac{x}{ \mathrm{e} ^{x^2}} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{x^2}\\
&= \left(-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}+K \right) \mathrm{e} ^{x^2}\\
&=K \mathrm{e} ^{x^2}-\frac{1}{2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
伯努利微分方程
形如
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)y^n~
\end{equation}
的方程，称为
伯努利微分方程（Bernoulli differential equation）。它可以通过变量代换，化为一阶线性微分方程。