一阶隐式常微分方程的存在唯一性定理

                     

贡献者： int256

预备知识　隐函数定理，皮卡定理

1. 一阶隐式常微分方程的存在唯一性定理

　　 对于一阶隐式常微分方程 $F(x, y, y')=0$，函数 $F$ 满足：

  1. 在 $(x_0, y_0, y_0')$ 的某个邻域内连续，且关于 $y$、$y'$ 有连续的一阶偏导数；
  2. $F(x_0, y_0, y_0')=0$；
  3. $F_{y'}'(x_0, y_0, y_0')\neq 0$。

　　 那么，$F(x, y, y') = 0$ 存在唯一的满足 $y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_0' $ 的、定义在 $[x_0-h, x_0+h]$ 上的函数，其中 $h$ 为一个充分小的正数。

2. 证明

　　 由隐函数定理，这方程为一确定了一个定义在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域 $S$ 上的隐函数 $y'=f(x, y)$，满足 $$F(x, y, f(x,y)) \equiv 0, y_0'=f(x_0, y_0) ~,$$ 同时，$f(x, y)$ 在 $S$ 内连续，$f'_y$ 在 $S$ 内连续。其中 $$f'_y(x, y) = - \frac{F'_y(x, y, y')}{F'_{y'}(x, y, y')} ~.$$

　　 接下来引入一个皮卡定理的推论：

推论 1　皮卡定理推论

　　 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，关于 $y$ 有连续一阶偏导数 $f'_y(x, y)$。 那么 $\forall P(x_P, y_P) \in D$，初值问题 $$\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } = f(x, y), y(x_0) = y_0 ~,$$ 存在唯一定义在含 $x_0$ 的某区间上的解。

　　 由皮卡定理，又根据微分中值定理，容易证明在某区域内连续的函数，在区域内关于 $y$ 满足李氏局部条件的充分条件为 $f(x, y)$ 在区域内关于 $y$ 有连续一阶偏导数 $f'_y(x, y)$。容易证明这个推论。

　　 由这个推论，方程 $y'=f(x, y)$ 存在唯一的满足 $y(x_0)=y_0$ 的解： $$y=g(x), x \in [x_0-h, x_0+h] ~.$$ 即 $g'(x) = f(x, g(x)), g(x_0) = y_0$。 将其带入 $F$ 有： $$F(x,g(x),g'(x)) \equiv F(x, g(x), f(x,g(x))) \equiv 0 ~,$$ 而 $g'(x_0)=f(x_0, g(x_0))=f(x_0,y_0)=y'_0$，故 $$y=g(x), x\in[x_0-h, x_0+h] ~,$$ 为唯一解，即证。

                     

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