贡献者： JierPeter
1. 恰当方程的概念
考虑一个二元函数 $u(x, y)$，其全导数为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{u} =\frac{\partial u}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} +\frac{\partial u}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
由多元微积分知识可知，$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$。因此，如果一个形如
\begin{equation}
M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0~
\end{equation}
的常微分方程满足
\begin{equation}
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}~.
\end{equation}
那么就可以存在一个 $u(x, y)$，使得 $M=\partial u/\partial x$ 和 $N=\partial u/\partial y$。
这样一来，式 2 就相当于
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{u} =0~.
\end{equation}
其解就是 $u=C$，$C$ 为积分常数。
也就是说，对于这样的方程，我们只需要求出 $u$ 就能求解。
定义 1 恰当方程
将形如式 2 且满足式 3 的方程，称为恰当方程（exact equation）。
我们研究一个例子，看看恰当方程是怎么解的。
例 1
考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{y}{3y^2-x}$。
移项后得到 $y \,\mathrm{d}{x} +(x-3y^2) \,\mathrm{d}{y} =0$。
记 $M=y$，$N=x-3y^2$，则容易验证 $\partial M/\partial y= 1 =\partial N/\partial x$，因此这是一个恰当方程。
我们希望找出一个 $u$，使得 $\partial u/\partial x=M$ 且 $\partial u/\partial y=N$。
先用 $M$ 关于 $ \,\mathrm{d}{x} $ 积分，因为这样积分出来的结果再对 $x$ 求偏微分就能得到 $M$：
\begin{equation}
u=\int M \,\mathrm{d}{x} =\int y \,\mathrm{d}{x} =xy+C_1(y)~,
\end{equation}
其中 $C_1(y)$ 是一个关于 $x$ 的常数——它完全可以是一个关于 $y$ 的非常数函数，在对 $x$ 求偏微分的时候不影响结果。
再用 $N$ 关于 $ \,\mathrm{d}{y} $ 积分，得到
\begin{equation}
u=\int N \,\mathrm{d}{y} =\int (x-3y^2) \,\mathrm{d}{y} =xy-y^3+C_2(x)~.
\end{equation}
同样，$C_2(x)$ 是一个关于 $y$ 的常数，它最多只和自变量 $x$ 有关。
比较式 5 和式 6 ，可见 $C_1(y)=C_2(x)-y^3$，因此 $C_2(x)$ 必须是一个和 $x$ 也无关的常数，记为 $C$，进而有 $C_1(y)=C-y^3$。
代回式 5 或式 6 ，得
\begin{equation}
u=xy-y^3+C~.
\end{equation}
于是方程的解就是 $xy-y^3=K$，其中 $K$ 为积分常数。
当 $K\not=0$ 时，还可以写成 $x-y^2=K$。
2. 积分因子
如果给定的方程是恰当的，那按照例 1 的步骤就能很容易解出来。然而我们实际上遇到的方程往往乍一看不是恰当方程。不过，很多时候我们可以将一个非恰当方程转化为恰当方程，最常用的就是积分因子法。
将方程化为恰当方程的过程，在有些材料里也被称为凑微分法。
定义 2 积分因子
对于非恰当常微分方程 $M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$，如果存在一个函数 $f(x, y)$，使得
\begin{equation}
f(x, y)M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +f(x, y)N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0~
\end{equation}
是一个恰当方程，那么称 $f(x, y)$ 是原方程的一个
积分因子（integration factor）。
既然式 8 是一个恰当方程，那就有
\begin{equation}
\frac{\partial (fM)}{\partial y}=\frac{\partial (fN)}{\partial x}~,
\end{equation}
展开后有
\begin{equation}
f \left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right) =N\frac{\partial f}{\partial x}-M\frac{\partial f}{\partial y}~.
\end{equation}
式 10 是一个关于未知函数 $f$ 的偏微分方程。虽然如果求出 $f$，我们就能得到一个恰当方程，快速解出原方程，但一般情况下 $f$ 的求解比原方程还难。
不过，在一些特殊情况下，我们确实是可以更容易地求出积分因子的。
最常见的一种情况，是限定 $f$ 是一个一元函数，从而将式 10 变成常微分方程。
一元积分因子
设 $M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$ 不是恰当方程，而 $f(x)$ 是它的一个积分因子。由于 $\partial f/\partial y=0$，式 10 就化为
\begin{equation}
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{N}{f}\frac{ \,\mathrm{d}{f} }{ \,\mathrm{d}{x} }~,
\end{equation}
其中左边是已知函数。这是一个变量可分离方程，移项后可得
\begin{equation}
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{f} \,\mathrm{d}{f} ~.
\end{equation}
故
\begin{equation}
f=\pm \exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \,\mathrm{d}{x} \right) ~.
\end{equation}
观察式 13 式可知，$M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$ 有一个自变量只有 $x$ 的积分因子 $f(x)$ 的充要条件是，$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}$ 是一个和 $y$ 无关的函数。
类似地，$M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$ 有一个自变量只有 $y$ 的积分因子 $f(y)$ 的充要条件是，$\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}$ 是一个和 $x$ 无关的函数。
例 2
考虑方程 $xy^2 \,\mathrm{d}{x} +xy \,\mathrm{d}{y} =0$。令 $M=xy^2$，$N=xy$，可知 $\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=2xy-y\not=0$，故它是非恰当的。
但是，$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2xy-y}{xy}=2-\frac{1}{x}$ 只有 $x$ 一个自变量，因此我们可以求积分因子 $f(x)$1：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f&= \exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \,\mathrm{d}{x} \right) \\
&= \exp\left(\int(2-\frac{1}{x}) \,\mathrm{d}{x} \right) \\
&= \exp\left(2x-\ln x\right) \\
&=\frac{ \mathrm{e} ^{2x}}{x}~.
\end{aligned}
\end{equation}
把 $f$ 乘到原方程里，得到
\begin{equation}
y^2 \mathrm{e} ^{2x} \,\mathrm{d}{x} +y \mathrm{e} ^{2x} \,\mathrm{d}{y} =0~.
\end{equation}
式 15 就是一个恰当方程。仿照例 1 的方法，求出
\begin{equation}
u=\frac{1}{2}y^2 \mathrm{e} ^{2x}~.
\end{equation}
因此，原方程的解就是
\begin{equation}
\frac{1}{2}y^2 \mathrm{e} ^{2x}=C~.
\end{equation}
例 3
在一阶常微分方程解法：常数变易法文章中，我们讨论了方程
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)~,
\end{equation}
其中 $P$ 和 $Q$ 都是所考虑区间上的连续函数。
现在，我们尝试用积分因子法解这个方程。
首先把方程改写为
\begin{equation}
(P(x)y+Q(x)) \,\mathrm{d}{x} - \,\mathrm{d}{y} =0~.
\end{equation}
而
\begin{equation}
\frac{\frac{\partial (P(x)y+Q(x))}{\partial y}+\frac{\partial 1}{\partial x}}{-1}=-P(x)~,
\end{equation}
因此式 19 有积分因子 $f(x)= \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }
$。
将式 19 改写为
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }(P(x)y+Q(x)) \,\mathrm{d}{x} - \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} } \,\mathrm{d}{y} =0~.
\end{equation}
对式 21 左边两项求积分，比较后得
\begin{equation}
u(x, y)=-y \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+\int \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }Q(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
故通解为
\begin{equation}
-y \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+\int \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }Q(x) \,\mathrm{d}{x} =C~.
\end{equation}
这和一阶常微分方程解法：常数变易法文章中式 6 的结论是一样的。
1. ^ 接下来的计算中我们没有加入正负号、积分常数和自然对数的绝对值符号，这是因为只要找出一个积分因子就够了，不必兼顾全面性。