贡献者： FFjet
拉普拉斯变换常用于微分方程的初始值问题，即已知某个物理量在初始时刻 $t=0$ 的值 $f(0)$，而求解它在初始时刻之后的变化情况 $f(t)$。至于它在初始时刻之前的值，我们就让它都等于 $0$，也就是说
\begin{equation}
f(t)=0 \quad(t<0)~.
\end{equation}
为了获得较宽的变换条件，构造一个函数 $g(t)$，
\begin{equation}
g(t)=\mathrm{e}^{-\sigma t} f(t)~,
\end{equation}
这里 $e^{-\sigma t}$ 为收敛因子。我们需要选一个充分大的正实数 $\sigma$，用来保证 $g(t) $ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积。于是，可以对 $g(t) $ 做傅里叶变换：
\begin{equation}
G(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm{e}^{-i\omega t} \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-(\sigma+\mathrm{i} \omega) t} \mathrm{d} t~.
\end{equation}
将 $\sigma+i \omega$ 记作 $p$，并将 $G(\omega)$ 改记作 $\bar f(p) / 2 \pi$ 则
\begin{equation}
\bar{f}(p)=\int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t~,
\end{equation}
其中积分
\begin{equation}
\int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t~
\end{equation}
称为
拉普拉斯积分。$\bar f(p)$ 称为 $f(t)$ 的
拉普拉斯函数。
式 4 称为
拉普拉斯变换（简称
拉氏变换），$\mathrm e^{-pt}$ 是拉普拉斯变换的
核。
$G(\omega)$ 的傅里叶逆变换是：
\begin{equation}
g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} \omega=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{f}(\sigma+\mathrm{i} \omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} \omega~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{f}(\sigma+\mathrm{i} \omega) \mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{i} \omega)t} \mathrm{d} \omega~.
\end{equation}
由于 $\sigma+\mathrm i\omega=p$，可得 $\mathrm d\omega = 1/\mathrm i\mathrm dp$。所以有
\begin{equation}
f(t)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\sigma-\mathrm{i} \infty}^{\sigma+\mathrm{i} \infty} \bar{f}(p) \mathrm{e}^{\mathrm{i} p} \mathrm{d} p~.
\end{equation}
$\bar f(p)$ 又称为像函数，而 $f(t)$ 称为原函数。它们之间的关系通常简单地用记号表示为：
\begin{equation}
\begin{array}{l}\bar{f}(p)=\mathscr{S}[f(t)] ~,\\ f(t)=\mathscr{L}^{-1}[\bar{f}(p)]~.\end{array}
\end{equation}
我们来看几个例题熟悉一下它的运算。
例 1
求 $\mathscr L[1]$。
在 $ \operatorname{Re} p>0$（即 $\sigma>0$）的半平面上，
\begin{equation}
\int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{-p t} d t=\frac{1}{p}~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathscr{L}[1]=\frac{1}{p} \quad(\operatorname{Re} p>0)~.
\end{equation}
例 2
求 $\mathscr L[t]$。
在 $ \operatorname{Re} p>0$ 的半平面上
\begin{equation}
\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} t \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t &=-\frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} t \mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{-p t}\right) \\ &=-\frac{1}{p}\left[t \mathrm{e}^{-p t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t=\frac{1}{p^{2}} ~,\end{aligned}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathscr{L}[t]=\frac{1}{p^{2}} \quad(\operatorname{Re} p>0)~.
\end{equation}
例 3
求 $\mathscr L[\mathrm e^{st}]$，$s$ 为常数。
在 $\operatorname{Re} p>\operatorname{Re} s$ 的半平面上，
\begin{equation}
\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{s t} \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t
&=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-(p-s) t} \mathrm{d} t=-\frac{1}{p-s}\left[\mathrm{e}^{-(p-s) t}\right]_{0}^{\infty} \\
&=\frac{1}{p-s}~, \end{aligned}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{st}\right]=\frac{1}{p-s} \quad(\operatorname{Re} p>\operatorname{Re} s)~.
\end{equation}
例 4
求 $\mathscr L[t\mathrm e^{st}]$，$s$ 为常数。
在 $\operatorname{Re} p>\operatorname{Re} s$ 的半平面上，
\begin{equation}
\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} t \mathrm{e}^{s t} \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t &=-\frac{1}{p-s} \int_{0}^{\infty} t \mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{-(p-s) t}\right] \\ &=-\frac{1}{p-s}\left\{\left[t \mathrm{e}^{-(p-s) t}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-(p-s) t} \mathrm{d} t\right\} \\ &=\frac{1}{(p-s)^{2}} ~,\end{aligned}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathscr{S}\left[t \mathrm{e}^{s t}\right]=\frac{1}{(p-s)^{2}} \quad(\operatorname{Re} p>\operatorname{Re} s)~.
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\mathscr{L}\left[t^{n} \mathrm{e}^{n}\right]=\frac{n !}{(p-s)^{n+1}}~.
\end{equation}