贡献者： JierPeter
定义 1
设各 $a_i(x)$ 和 $f(t)$ 都是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，则称
\begin{equation}
\left(\frac{\mathrm{d}^n y}{ \,\mathrm{d}{x} ^n} \right) +a_1 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) +a_2 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-2}} \right) +\cdots+a_ny=f(x)~
\end{equation}
为区间 $[a, b]$ 上的
线性微分方程（linear differential equation）。
当 $f(x)=0$ 时，称式 1 为齐次的（homogeneous），否则称为非齐次的（inhomogeneous）。
任取 $x_0\in[a, b]$，如果已知该点处 $y, \left(\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} } \right) , \left(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{2}} \right) , \cdots, \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) $ 的 $n$ 个值，那么我们可以唯一确定式 1 满足这些初值的特解。这一解的存在与唯一性定理将在线性方程组相关章节讨论。
未完成：引用相关的存在与唯一性定理。
1. 齐次线性微分方程的解的性质与结构
区间 $[a, b]$ 上的齐次线性方程形如
\begin{equation}
\left(\frac{\mathrm{d}^n y}{ \,\mathrm{d}{x} ^n} \right) +a_1 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) +a_2 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-2}} \right) +\cdots+a_ny=0~.
\end{equation}
定理 1 解的线性叠加原理
如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_k(x)$ 是式 2 的 $k$ 个解，而 $c_1, c_2, \cdots, c_k$ 是 $k$ 个常数，那么 $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ky_k(x)$ 也是一个解。
证明很简单，利用求导的线性性即可。
线性叠加原理，就是解进行 “数乘” 和 “加法” 后仍为解，意味着式 2 的全体解构成了一个线性空间，称为解空间。如果我们能找到这个线性空间的一组基，也就相当于了解了整个线性空间。这样的基向量，被称为基解，一切解都可以表示为它们的线性组合。基解构成的集合，被称为基本解组。
定义 2 线性相关性
对于区间 $[a, b]$ 上的函数 $y_i(x)$，如果存在一组不全为零的常数 $c_i$，使得 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ky_k(x)=0$，那么称 $y_1, \cdots, y_k$ 是线性相关的，否则是线性无关的。
定理 2
如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是式 2 的 $n$ 个线性无关的解，那么它们构成了一组基解。
定理 2 证明思路提示：我们已经知道，式 2 的每个解由 $n$ 个初值唯一确定。在初值点 $x_0$，给定初值条件 $y(x_0), \left(\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} } \right) (x_0), \left(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{2}} \right) (x_0), \cdots, \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)$，如果 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ 满足全部 $n$ 个初值条件，那么
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&c_1y_1(x_0)+\cdots+c_ny_n(x_0)=y(x_0)\\
&c_1y_1'(x_0)+\cdots+c_ny_n'(x_0)=y'(x_0)\\
&\phantom{123456789012345678}\vdots\\
&c_1 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y_1}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)+\cdots+c_n \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y_n}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)=y(x_0)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
而由于 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 在给定区间上是线性无关的，
式 3 的各方程也就彼此独立
1
，因此能够解出唯一的常数组 $\{c_i\}$。“能够解出” 意味着 “能够把满足初值条件的解表示成 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$”。
如何判断一组 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 在给定区间 $[a, b]$ 上的线性相关性呢？我们需要借助以下朗斯基行列式。
定义 3 朗斯基行列式
对于区间 $[a, b]$ 上存在 $k-1$ 次导函数的 $k$ 个函数 $f_1, f_2, \cdots, f_k$，定义在 $[a, b]$ 上的函数 $W[f_1, f_2, \cdots, f_k](x)$ 为如下行列式：
\begin{equation}
W[f_1, f_2, \cdots, f_k](x)= \begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_k\\f'_1&f'_2&\cdots&f'_k\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_1^{(k-1)}&f_2^{(k-1)}&\cdots&f_k^{(k-1)}\end{vmatrix} (x)~,
\end{equation}
称之为给定函数组的
朗斯基行列式（Wronskian）。
朗斯基行列式，本质上就是式 3 的系数矩阵行列式。式 3 解的存在性和 $\{y_i\}$ 的线性相关性紧密相连，因此我们有以下定理：
定理 3
对于 $[a, b]$ 上的函数 $f_i(x)$，如果它们在给定区间上线性相关，那么 $W[f_1, f_2, \cdots, f_k](x)$ 在 $[a, b]$ 上恒为 $0$。
注意，定理 3 的逆定理（W 恒为 $0$ 则 $\{f_i\}$ 线性相关）不成立。我们试举一例反例来说明：
例 1
考虑 $\mathbb{R}$ 上的函数：
\begin{equation}
f_1(x)= \left\{\begin{aligned}
&0 &\quad &(x<0)\\
& \mathrm{e} ^{-\frac{1}{x}} &\quad &(x\geq 0)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
和
\begin{equation}
f_2(x)= \left\{\begin{aligned}
& \mathrm{e} ^{-\frac{1}{x}} &\quad&(x<0)\\
&0 &\quad& (x\geq 0)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
简单计算可得 $W[f_1, f_2]$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒为 $0$，但 $f_1, f_2$ 在 $\mathbb{R}$ 上线性无关，而且它们还是无穷次可导的函数，是绝佳的反例。
定理 4
如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是式 2 的 $n$ 个解且它们线性无关，那么它们的朗斯基行列式在 $[a, b]$ 上处处不为 $0$。
定理 4 的证明思路提示：反设存在某 $x_0\in[a, b]$，使得上述朗斯基行列式为 $0$，那么在 $x_0$ 处的初值条件无法总是给出式 3 的解，这与解的存在性矛盾。
2. 非齐次线性微分方程
容易验证，非齐次方程式 1 的解 ${\phi}_1(x), \phi_2(x)$ 和齐次方程式 2 的解 $\overline{\phi}(x)$ 有如下关系：
- $\phi_1(x)+\overline{\phi}(x)$ 是非齐次方程式 1 的解；
- $\phi_1(x)-\phi_2(x)$ 是齐次方程式 2 的解。
因此，我们容易得到以下定理
定理 5 非齐次方程的解集
设 $\phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)$ 为式 2 的一组基解，$\varphi(x)$ 为式 1 的一个特解，那么式 1 的通解可以表示为
\begin{equation}
c_0\varphi(x)+c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_n\phi_n(x)~.
\end{equation}
知道了式 2 的基本解组以后，我们可以用常数变易法来解出式 1 .
假设 $\phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)$ 为式 2 的一组基解，那么式 2 的任意一个解都可以表示为 $c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_n\phi_n(x)$ 的形式。现在我们把各常数 $c_i$ 写成待定函数 $c_i(x)$，使得
\begin{equation}
c_1(x)\phi_1(x)+c_2(x)\phi_2(x)+\cdots+c_n(x)\phi_n(x)~
\end{equation}
是
式 1 的解。
例 2 非齐次线性微分方程的常数变易法
考虑方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^2 y}{ \,\mathrm{d}{x} ^2}+y=\tan x~,
\end{equation}
且已知其齐次形式的基本解组为 $\{\cos x, \sin x\}$。
设式 9 的通解为
\begin{equation}
y=c_1(x)\cos x+c_2(x)\sin x~,
\end{equation}
将
式 10 代入
式 9 得到
\begin{equation}
c''_1(x)\cos x+c''_2(x)\sin x-c'_1(x)\sin x+c'_2(x)\cos x=\tan x~.
\end{equation}
式 11 有两个未知函数，所以没有唯一确定的解。我们可以有多种方法指定第二个约束式子，实践中当然是怎么方便计算怎么来。
通常，我们令
\begin{equation}
c'_1(x)\cos x+c'_2(x)\sin x=0~,
\end{equation}
这就意味着 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=-c_1(x)\sin x+c_2(x)\cos x$，进而
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^2 y}{ \,\mathrm{d}{x} ^2}=-c_1(x)\cos x-c_2(x)\sin x-c'_1(x)\sin x+c'_2(x)\cos x~.
\end{equation}
重新将式 13 代回式 9 和式 10 得到
\begin{equation}
-c'_1(x)\sin x+c'_2(x)\cos x=\tan x~.
\end{equation}
联立式 12 和式 14 ，解得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
c'_1(x)&=\sin^2x/\cos x\\
c'_2(x)&=\sin x~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
解出 $c_1$ 和 $c_2$：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
c_1(x)&=C_1-\sin x+ \ln\left(\frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}\right) \\
c_2(x)&=C_2-\cos x~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是积分常数。
代回式 10 ，整理后可得式 9 的通解为
\begin{equation}
y=C_1\cos x+C_2\sin x-\sin 2x+\cos x \ln\left(\frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}\right) ~.
\end{equation}
例 2 中关键的简化步骤是规定了 $c'_1(x)\cos x+c'_2(x)\sin x=0$。事实上，同一个思路在用常数变易法解非齐次方程时很常用，因为它能避免出现 $c_i(x)$ 的高阶导函数。
1. ^ 式 3 是关于未知量 $c_i$ 的代数方程组。如果 $\{y_i\}$ 线性相关，那么至少有一个 $y_i$ 可以表示为其它几个 $y_i$ 的线性组合，而 $y'_i, y''_i$ 等也可以表示为相同的线性组合，这就使得式 3 各方程中至少有一个能被其它方程表示出来，从而不独立。由于初值条件的任意性，这就会导致多数初值条件下式 3 无法解出 $\{c_i\}$。反过来，$\{y_i\}$ 线性无关，那么式 3 各方程就彼此独立。