用梯度求曲线和曲面的法向量

                     

贡献者： addis

　　 先以 $xy$ 平面的曲线为例，任意曲线可以用函数 $F(x,y)=0$ 表示。的曲线和 $F(x,y,z)$ 表示的曲面在某点的法向量就是他们在该点的梯度。

1. 推导

　　 平面曲线可以表示为 $F(x,y)=0$。即 $x,y$ 在变化的过程中始终满足这一条件。根据微分定理，一点 $(x,y)$ 在曲线上移动的过程中，显然有

其中 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 表示曲线上的一段微小位移，延曲线的切向。

　　 上式表示，这两个矢量的点乘为零，即 $\mathbf{\nabla }F$ 就是就是曲线在 $(x,y)$ 点的法向量。

　　 空间直角坐标系中的曲面同样也可以用 $F(x,y,z)$ 来表示，从曲面上 $P_0=(x_0,y_0)$ 点出发，延曲面的任意微小位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 都满足微分关系

既然 $\mathbf{\nabla }F$ 同时垂直于曲面内过 $P_0$ 的任意微小位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$，$\mathbf{\nabla }F$ 就是曲面在 $P_0$ 点的法向量。

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　　 若从曲线上的某点出发，沿曲线的切线方向取一个微位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\hat{\mathbf{x}}+\mathrm{d}y\hat{\mathbf{y}}$，由于 $(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)$ 仍然在等值线上，函数增量 $\mathrm{d}f=0$。代入式 5 得

即 $f(x,y)$ 的梯度与 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 垂直。所以 $\mathbf{\nabla }f(x,y)$ 必定是 $(x,y)$ 点所在等值线的法向量，且指向函数值 $C$ 更大的等值线（因为函数值在梯度方向增加最快）。

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