贡献者： addis
半径为 $R$ 的 $n$ 维欧几里得空间中的球体的体积可以用 $\Gamma$ 函数表示为
\begin{equation}
V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)} R^n = \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!} R^n~,
\end{equation}
其中阶乘和 Gamma 函数的关系见
式 1 。若定义 $n$ 维球体的表面满足方程 $\sum_{i=1}^n x_i^2 = R_n^2$，其中 $x_i$ 为 $n$ 维直角坐标系中第 $i$ 个坐标。所有满足 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \leqslant R_n^2$ 的坐标点都定义为球内的点，且定义 $n$ 维直角坐标系中的体积为 $V_n = \int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \dots \,\mathrm{d}{x_n} $，积分是对所有球内的点积分。
如果这些定义看起来很抽象，不妨代入到三维空间中考虑。三维直角坐标系中，$x_1, x_2, x_3$ 分别是 $x,y,z$， $R_3$ 是球的半径，球表面上任意一点都满足 $x^2 + y^2 + z^2 = R_3^2$，且球的体积分为 $\int \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $ 是对球内部的所有点积分。另外，若把上述定义代入到 1 维和 2 维，不难发现所谓的 “1 维球” 和 “2 维球” 分别是半径为 $R_1$ 的线段和半径为 $R_2$ 的圆。
1. 推导
由于正常人的空间想象力最高是 3 维，我们先由 3 维以内的球体总结出体积的递推公式，这样即使我们无法想象高维球的形状，也可以计算其体积。下面在推导前 3 个维度时，请把所有 $x_1, x_2, x_3$ 想象成 $xyz$。
图 1：二维和三维球的体积
2. 1 维球
这是一条线段，满足 $x_1^2 \leqslant R_1^2$，“体积” 就是线段长度
\begin{equation}
V_1 = \int \,\mathrm{d}{x_1} = 2 R_1~.
\end{equation}
3. 2 维球
这是一个圆，满足 $x_1^2 + x_2^2 \leqslant R_2^2$，在计算体积 $V_2 = \int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} $ 时，可以先对 $x_1$ 积分再对 $x_2$ 积分
\begin{equation}
V_2 = \int \left(\int \,\mathrm{d}{x_1} \right) \,\mathrm{d}{x_2} = \int V_1(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} ~.
\end{equation}
在几何上，这就是说把圆从沿 $x_1$ 轴切成许多一维球（线段），由 $x_1^2 \leqslant R_2^2 - x_2^2$，一维球的半径为 $R_1(x_2) = (R_2^2 - x_2^2)^{1/2}$。代入
式 2 ，得 $x_2$ 处切出的一维球的体积（线段的长度）为
\begin{equation}
V_1 (x_2) = \int \,\mathrm{d}{x_1} = 2R_1 = 2(R_2^2 - x_2^2)^{1/2}~.
\end{equation}
再代入
式 3 ，得二维球的体积为（注意 $ -R_2 < x_2 < R_2$）
\begin{equation}
V_2 = \int V_1 \,\mathrm{d}{x_2} = \int 2 (R_2^2 - x_2^2)^{1/2} \,\mathrm{d}{x_2} = \pi R_2^2~.
\end{equation}
4. 3 维球
这是一个球体，满足 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \leqslant R_3^2$，计算体积 $V_3 = \int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} $ 时，可以先对 $x_1 x_2$ 积分
\begin{equation}
V_3 = \int \left(\int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \right) \,\mathrm{d}{x_3} = \int V_2(x_3) \,\mathrm{d}{x_3} ~.
\end{equation}
在几何意义上，这是说把球沿 $x_1 x_2$ 平面切成许多二维球（圆），然后把球的体积（面积）沿 $x_3$ 轴积分。由 $x_1^2 + x_2^2 \leqslant R_3^2 - x_3^2$，得 $x_3$ 处二维球半径为 $R_2 = (R_3^2 - x_3^2)^{1/2}$。由
式 5 得体积为
\begin{equation}
V_2 (x_3) = \pi R_2^2 = \pi (R_3^2 - x_3^2)~.
\end{equation}
代入
式 6 得三维球体积（注意 $-R_2 < x_2 < R_2$）
\begin{equation}
V_3 = \int V_2(x_3) \,\mathrm{d}{x_3} = \int \pi (R_3^2 - x_3^2) \,\mathrm{d}{x_3} = \frac43 \pi R^3~.
\end{equation}
5. $n$ 维球
由以上两个推导，可以在代数上总结出递推的规律。把 $n$ 维球在 $n+1$ 维积分，得1
\begin{equation}
V_4 = \int_{-R}^R \frac43 \pi (R_4^2 - x_4^2)^{3/2} \,\mathrm{d}{x_4} = \frac12 \pi^2 R^4~.
\end{equation}
令 $n$ 维球体体积维 $C_n R^n$，那么可以总结出递推公式为
\begin{equation}
V_{n+1} = \int_{-R}^R C_n (R^2 - x^2)^{n/2} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
使用
换元积分法，令 $x = R\sin\theta$，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{-R}^R (R^2 - x^2)^{n/2} \,\mathrm{d}{x} &= R^{n+1} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{n+1}\theta \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(n/2+1)}{\Gamma[(n+1)/2+1]} R^{n+1}~.
\end{aligned}
\end{equation}
用阶乘表示递归公式（
式 1 ），就是
\begin{equation}
C_{n+1} = C_n \frac{\sqrt{\pi}(n/2)!}{[(n+1)/2]!}~.
\end{equation}
已知 $C_1 = 2$，易得
\begin{equation}
C_n = \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}~,
\end{equation}
这样就得到了
式 1 。
1. ^ 可使用 Mathematica 软件计算积分，见 Mathematica 积分
