模的直和
贡献者： JierPeter
定义 1 内直和
给定一个 $R$-模 $M$，若它有子模 $M_1, M_2, \cdots M_s$，使得任取 $m\in M$，都存在 $m_i\in M_i$ 使得
\begin{equation}
m = \sum_{i=1}^{s} m_i~,
\end{equation}
那么称 $M$ 是 $M_i$ 的
和（sum），记为
\begin{equation}
M=M_1+M_2+\cdots+M_s=\sum_{i=1}^s M_i~.
\end{equation}
进一步，如果对于任意的 $m\in M$，上述表示 $\sum_i m_i$ 是唯一的，则称 $M$ 是 $M_i$ 的内直和（inner direct sum），记为
\begin{equation}
M=M_1\oplus M_2\oplus \cdots \oplus M_s= \bigoplus_{i=1}^s M_i~.
\end{equation}
定义 2 外直和
给定 $R$-模 $M_1, M_2, \cdots, M_s$，在笛卡尔积集合 $M=M_1\times M_2\times \cdots \times M_s$ 上定义加法运算为
\begin{equation}
(a_1, a_2, \cdots, a_s)+(b_1, b_2, \cdots, b_s) = (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_s+b_s)~,
\end{equation}
定义 $R$ 对 $M$ 的数乘运算为
\begin{equation}
r(a_1, a_2, \cdots, a_s) = (ra_1, ra_2, \cdots, ra_s)~,
\end{equation}
则 $M$ 也构成一个 $R$-模，称为 $M_i$ 的
外直和（outer direct sum），记为
\begin{equation}
M=M_1\oplus M_2\oplus \cdots \oplus M_s= \bigoplus_{i=1}^s M_i~.
\end{equation}
外直和与内直和本质上是一回事。如果 $M$ 是其子模 $M_i$ 的内直和，那么计算各 $M_i$ 的外直和，其结果和 $M$ 同构。如果给定 $R$-模 $M_i$，求它们的外直和，为方便同样记为 $M$，那么各 $M_i$ 也可以同构于 $M$ 的子模，且 $M$ 是这些子模的内直和。