多项式的可约性质
贡献者： 零穹
1这一节的内容是关于多项式的可约与不可约性质的，这些概念是因式分解的基础，也有助于理解其它数学分支中的 “约化” 概念。
定义 1
设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式，若 $p(x)$ 在数域 $\mathbb{F}$ 上只有平凡因式，则称 $p(x)$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式，否则，称 $p(x)$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的可约多项式。
按照定义，一次多项式总是不可约多项式。不可约多项式 $p(x)$ 与任一多项式 $f(x)$ 之间只可能有两种关系，或者 $p(x)|f(x)$，或者 $(p(x),f(x))=1$（该符号见定义 3 ）。
定理 1
设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式，$f(x),g(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 两个多项式，若 $p(x)|f(x)g(x)$，则一定有 $p(x)|f(x)$ 或者 $p(x)|g(x)$
证明： 若 $p(x)|f(x)$，那么结论以及成立。如果 $p(x)\nmid f(x)$，那么由 $p(x)$ 的不可约性，说明 $(p(x),f(x))=1$，由定理 4 即得 $p(x)|g(x)$。
由数学归纳法很容易将这个定理推广
定理 2
若不可约多项式 $p(x)$ 整除对多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 的乘积
\begin{equation}
p(x)|f_1(x)f_2(x)\cdots f_s(x)~,
\end{equation}
则在多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 中，必有一多项式 $f_i(x)$ 存在，使得 $p(x)|f_i(x)$。
1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海：同济大学出版社