矩阵李群

                     

贡献者: Giacomo; _Eden_

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预备知识 1 一般线性群,域上的代数

1. 矩阵李群

  1 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。全体 $n \times n$ 可逆矩阵的集合 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群,同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合(因此是个子流形)。

定义 1 矩阵李群

   对于群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子群 $G$,$G$ 被称为一个矩阵李群如果它是 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的一个闭子集。Definition 1.4 [1]

   对于一个矩阵李群 $G$,我们有 $$ G \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \subseteq M_n(\mathbb{C})~, $$ $G$ 在 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 中是闭的,但在 $M_n(\mathbb{C})$ 中不一定。

2. 例子

例 1 一般线性群和特殊线性群

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \end{aligned}~ \end{equation}
为 $\mathbb R$ 上的一般线性群,它被定义为 $ \operatorname {GL}(n,\mathbb R)=\{M\in M_n(n,\mathbb{R}): \det M\neq 0 \}$。 可以看出它是 $n^2$ 维的李群。类似地,${ \operatorname {GL}(n,\mathbb{C})}$ 为 $2n^2$ 维的李群(以下我们讨论的李群的维数都是它们作为实流形的维数)。

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {SL}(n, \mathbb{C}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \end{aligned}~ \end{equation}
为 $\mathbb C$ 上的特殊线性群,它被定义为 $\{M\in M_n(n,\mathbb{C}): \det M=1 \}$,由于加了 $\det M=1$ 的限制,它相当于 $2n^2$ 维流形上的一个 $2n^2-2$ 维的超曲面,它是 $2n^2-2$ 维的李群。

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {SL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \end{aligned}~ \end{equation}
为 $\mathbb R$ 上的特殊线性群,由于加了 $\det M=1$ 的限制,它相当于 $n^2$ 维流形上的一个 $n^2-1$ 维的超曲面,它是 $n^2-1$ 维的李群。

幺正群和正交群

   我们通常要研究某个 $n$ 维复空间上保内积的线性变换,即 $(u,v)=(Mu,Mv),\forall u,v\in \mathbb{C}_n$。这也就意味着 $u^\dagger v=u^\dagger M^\dagger M v$ 对于任意 $n$ 维复向量 $u,v$ 都成立,这类线性变换也被称作为幺正变换(或酉变换)。因此幺正群被定义为

\begin{equation} \begin{aligned} U(n)=\{ M\in M_n(n,\mathbb C): M^\dagger M=I_n \}~, \end{aligned} \end{equation}
可以证明 $U(n)$ 是 $n^2$ 维的李群。

   类似地,在实空间上正交群 $O(n)$ 被定义为

\begin{equation} \begin{aligned} O(n)=\{ M\in M_n(n,\mathbb R): M^T M=I_n \}~, \end{aligned} \end{equation}
可以证明 $O(n)$ 是 $\frac{1}{2}n(n+1)$ 维李群。例如 $n=3$ 时 $O(n)$ 是三维李群,它意味着三维空间旋转由三个连续自由度(参量)描述(除了连续自由度以外,还包括空间反演变换,这意味着正交群并非连通的李群,这也促使我们在数学上去严格地定义 “连通” 的概念……)。

广义正交群

  

未完成:定义

定义 2 洛伦兹群

   洛伦兹群是满足以下条件的 $4\times 4$ 矩阵所构成的群

\begin{equation} \Lambda^T \begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{pmatrix} \Lambda =\begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{pmatrix}~, \end{equation}
或者
\begin{equation} O(1,3)=\{\Lambda\in M_n(4,\mathbb R):\Lambda^T\eta\Lambda=\eta\}~. \end{equation}

   关于洛伦兹群更丰富的性质见洛伦兹群的李代数

  

未完成:定理:在复数下只有一种正交群

辛群和紧辛群

  

未完成:定义

(广义)欧几里得群

  

未完成:定义
未完成:定义:伽利略群和庞加莱群

海森堡群

  

未完成:定义

性质

预备知识 2 李群紧致性,道路连通性

定理 1 

   矩阵李群是李群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子李群

习题 1 

   证明它。

习题 2 

   判断例子中的那些矩阵李群是

  • 紧致的;
  • (道路)连通的;
  • 单连通的。

  

未完成:单连通的文章


1. ^ 本文参考 [1]


[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.

                     

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