矩阵的本征问题

贡献者：叶月2_; addis; Giacomo; int256

预备知识　线性方程组与向量空间，矩阵的本征值，不变子空间

　　若已知矩阵 $A$ ，我们把线性方程组

\begin{matrix} (1) & A v = λ v . \end{matrix}

称为矩阵

A

的本征方程（eigen equation）。式中

A

是已知的，而

λ

和

v

是未知的。显然，当

v = 0

时方程恒成立，所以我们通常只对非零解感兴趣。也就是说，我们希望找到一些非零向量

v

，使得矩阵

A

乘以该向量以后方向不变¹。对于每个这样的向量，我们用一个标量

λ

来描述其模长的改变。我们把这些向量叫做本征矢（eigen vector），把对应的

λ

叫做本征值（eigen value）。一些教材也翻译成特征矢和特征值。小时百科中，eigen 译作 “本征”，而 characteristic 译作 “特征”。

几何意义

　　几何上来讲，实数矩阵对应的线性变换相当于把坐标网格做旋转、拉伸、翻折等操作。所以一般而言，一个非零向量在变换后长度和方向都会改变。但也可能存在一些特殊的非零向量，使得变换后只可能改变长度而不改变方向。这些向量就是本征方程的解。注意这种几何理解仅适用于实数矩阵以及实数本征值和本征矢的解。

1. 求解本征方程

　　若令 $I$ 为 $N \times N$ 的单位矩阵²，则本征方程式 1 移项后得到一个齐次线性方程组

\begin{matrix} (2) & (A - λ I) v = 0 . \end{matrix}

括号中的矩阵相当于把矩阵

A

的对角线上的元都减去

λ

得到的方阵。要确保方程有非零解，只需令系数矩阵

A - λ I

不是满秩的，即行列式为零

\begin{matrix} (3) & | A - λ I | = 0 . \end{matrix}

这是一个关于

λ

的

N

阶多项式，称为特征多项式（characteristic polynomial）。并不是所有矩阵都有本征向量和相应本征值，比如非特殊角的旋转变换并不能把任意向量旋转到与原向量平行。但是根据代数学基本定理，复数域上的特征多项式（一元 n 次方程）必有 n 个根（重根的重数包括在内），即有

n

个本征值。对于

n

阶矩阵

A

，如果

λ

为特征方程的单根，称

λ

为

A

的单本征值；如果

λ

是

k

重根，称之为

A

的 $k$ 重本征值，并称

k

为

λ

的代数重数。

　　把本征值记为 $λ_{i}$ （ $i = 1, 2 \dots N$ ）。将它们依次代入式 2 ，就可以分别解出对应的本征矢。通常把式 2 的解空间称为矩阵 $A$ 对应于本征值 $λ$ 的本征子空间，记为 $V_{λ}$ ，称该子空间的维数为几何重数，即线性无关的本征向量。根据方程的线性可知，本征子空间的任意向量都是本征矢。

　　在物理上，如果本征子空间维度是 $1$ ，我们称相应的本征值是非简并（non-degenerate）的，若几何重数 $n_{i}$ 大于 1，则称 $λ_{i}$ 是 $n_{i}$ 重简并（degenerate）的，把几何重数 $n_{i}$ 叫做简并数（degeneracy）。可以证明，任意本征值的几何重数不大于代数重数。

例 1　二维矩阵的本征方程

　　给出任意二维实数矩阵

\begin{matrix} (4) & A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) . \end{matrix}

要求它的本征值和本征矢，其特征多项式（式 3 ）为

\begin{matrix} (5) & | \begin{matrix} a - λ & b \\ c & d - λ \end{matrix} | = (λ - a) (λ - d) - b c = 0 . \end{matrix}

解二次方程得两个本征值为

\begin{matrix} (6) & λ_{\pm} = \frac{(a + d) \pm \sqrt{(a - d)^{2} + 4 b c}}{2} . \end{matrix}

复数域中必定存在两个根，包括重根。若要求本征值为实数，则需要另判别式（根号中的式子）大于零，否则本征方程无解。

　　本征矢为

\begin{matrix} (7) & v_{\pm} = C (\begin{matrix} b \\ λ_{\pm} - a \end{matrix}) = C (\begin{matrix} λ_{\pm} - d \\ c \end{matrix}), \end{matrix}

其中

C

是任意非零常数。若两本征值相同，则只存在一个一维的本征矢空间，即一条直线。

　　下面列举与本征值相关的常用结论。

定理 1　

　　设 $λ_{1}, λ_{2} . . . λ_{m}$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个互不相同的本征值，分别对应本征向量 $x_{1}, x_{2} . . . x_{m}$ 。则 $x_{1}, x_{2} . . . x_{m}$ 线性无关。

　　证明：用数学归纳法证明。 $m = 1$ 显然成立。设 $i = m - 1$ 成立，需要证明 $i = m$ 成立。用反证法，假设 $i = m$ 时， $x_{1}, x_{2} . . . x_{m}$ 线性相关，设有若干不全部为 0 的系数使得：

\begin{matrix} (8) & x_{m} = a^{1} x_{1} + a^{2} x_{2} + . . . a^{m - 1} x_{m - 1}, \end{matrix}

则有：

\begin{matrix} (9) & A x_{m} = a^{1} λ_{1} x_{1} + a^{2} λ_{2} x_{2} + . . . a^{m - 1} λ x_{m - 1} = λ_{m} x_{m} . \end{matrix}

由于式 8 中的

a^{i} (i = 1, 2. . . m - 1)

不全为 0。所以至少有部分本征值满足

λ_{i} = λ_{m}

，这与题设矛盾，因而定理成立。

　　上述定理可以推广为几何重数大于 $1$ 的情况，即：

推论 1　

　　设 $λ_{1}, λ_{2} . . . λ_{m}$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个互不相同的本征值，分别对应本征向量组 ${x_{1 i}}, {x_{1 i}} . . . {x_{m i}}$ ， $i$ 的最大值取遍几何重数。则 ${x_{1 i}}, {x_{1 i}} . . . {x_{m i}}$ 线性无关。

　　证明思路一致。

定理 2　

　　设 $λ$ 是方阵 $A$ 的一个本征值， $x$ 是对应的本征向量。则有：

当 $A$ 可逆时， $\frac{1}{λ}$ 是 $A^{- 1}$ 的本征值；
当 $A$ 可逆时， $\frac{| A |}{λ}$ 是伴随矩阵 $A^{*}$ 的本征值；
$f (x)$ 是 $x$ 的一元多项式，则 $f (λ)$ 是 $f (A)$ 的一个本征值，并且 $x$ 依然是矩阵 $A^{- 1}, A^{*}, f (A)$ 的分别对应于本征值 $\frac{1}{λ}, \frac{| A |}{λ}, f (λ)$ 的本征向量。

　　 Proof. 现证第一点。由于 $A A^{- 1} x = A^{- 1} A x = λ A^{- 1} x = x$ ，因此 $x$ 依然是 $A^{- 1}$ 的本征向量，且本征值为 $λ^{- 1}$ 。从线性变换的角度上看， $A$ 使得 $x$ “伸长” 为原来的 $λ$ 倍，其逆操作必定是缩小为原来的 $λ^{- 1}$ ，才能保证本征向量不变。

　　第二点易证，留作习题。下证第三点，为证明方便，使用爱因斯坦求和约定。

　　设 $f (x) = a_{n} x^{n}$ ，则 $f (A) = a_{i} A^{i}, f (λ) = a_{n} λ^{n}$ 。显然我们有 $f (A) x = a_{i} A^{i} x = a_{i} λ^{i} x = f (λ) x$ ，得证。

2. 对角化与相似变换

　　求解矩阵的本征方程的过程有时候也叫做矩阵的对角化（diagonalization），因为方阵可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量。

定理 3　

　　 $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量。

　　 Proof. 设 $Q = (x_{1}, x_{2} . . . x_{n})$ 是实现该相似变换的过渡矩阵，相似变换为：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} A Q & = Q B \\ A (x_{1}, x_{2} . . . x_{n}) & = Q diag (λ_{1}, λ_{2} . . . λ_{n}) \\ (A x_{1}, A x_{2} . . . A x_{n}) & = (λ_{1} x_{1}, λ_{2} x_{2} . . . λ_{n} x_{n}) \end{aligned} . \end{matrix}

必要性的证明同理。

　　因此，过渡矩阵的每一列都是 $A$ 的本征向量。由于过渡矩阵可逆，因而这 $n$ 个本征向量线性无关。如果能找到使 $A$ 为对角矩阵的 $Q$ 就相当于解出了本征方程式 1 ，这就是 “对角化” 名字的由来。

3. 相似不变量

　　相似变换不改变矩阵的本征值和本征向量，因为这仅仅是改变线性映射和向量的 “表示”， $f (x) = λ x$ 这个关系是不随基的改变而改变的。当然，你也可以利用相似变换后矩阵和向量坐标关系的变化来证明这一点。由此我们可以进一步总结基本的相似不变量：矩阵的秩、行列式、本征值。

　　实际上，矩阵的迹也是相似不变量。设过渡矩阵为 $S$ ，则有 $Tr (S^{- 1} A S) = Tr (S S^{- 1} A) = Tr A$ 。

习题 1　

　　用其他方式证明迹是相似不变量。（提示：用指标表示法。）

　　实际上，还有两个常见的相似不变量，可以让我们明晰矩阵元和本征值的关系。

定理 4　

　　设 $n$ 阶方阵 $A = (a_{j}^{i})$ 的 $n$ 个本征值为 $λ_{1}, λ_{2}, . . . λ_{n}$ ，则

$\prod_{i = 1}^{n} λ_{i} = | A |$
$λ_{1} + λ_{2} + . . . λ_{n} = Tr A = a_{1}^{1} + a_{2}^{2} + . . . a_{n}^{n}$

　　 Proof.

　　关键是展开矩阵的特征多项式。

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} | λ I - A | & = | \begin{array}{cccc} λ - a_{1}^{1} & - a_{2}^{1} & \dots & - a_{n}^{1} \\ - a_{1}^{2} & λ - a_{2}^{2} & \dots & - a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - a_{1}^{n} & - a_{2}^{n} & \dots & λ - a_{n}^{n} \end{array} | \\ = a_{i} λ^{i} \\ = (λ - λ_{1}) (λ - λ_{2}) . . . (λ - λ_{n}) = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

在第二种展开方式里，

\prod_{i = 1}^{n} λ_{i}

的系数为

(- 1)^{n}

，因此我们只需要在第一种展开方式里找不含有

λ

的项即可。首先想到的是对角元连乘，里面有一项

(- 1)^{n} \prod_{i = 1}^{n} a_{i}^{i}

。在其他的展开项里，总含有

\prod_{i = 1}^{k} (λ - a_{i}^{i})

，其中

k \leq n - 2

。可以进一步展开多项式，选取不含有

λ

的项。由于保留了矩阵元前的系数

- 1

，所以最终得到的是

(- 1)^{n} | A |

，第一点得证。

　　现在证明第二点。同样的，在第二种展开方式里我们可以看到这一项实际上是 $(λ)^{n - 1} (λ_{1} + λ_{2} . . . + λ_{n})$ 。由于除了对角元连乘以外的项里连乘数目 $k \leq n - 2$ ，因此这一项只在对角元连乘项里，展开这一项便可得证。

推论 2　

　　设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $| A | = 0$ 的充要条件是数 $0$ 为矩阵 $A$ 的本征值。

习题 2　

证明三角矩阵（上三角或下三角）的对角元为本征值。
证明严格上三角矩阵为幂零矩阵，即矩阵自乘若干次后为零矩阵。提示：用 Hamilton-Cayley 定理。

定理 5　

　　设 $A$ 为复数域上的矩阵，任意本征值的几何重数都小于或等于对应的代数重数。

　　 证明： 设 $A$ 为 $n$ 维线性空间上的任意矩阵， $λ$ 为其某个特征值，对应有 $r$ 维特征子空间。又设 ${{\hat{e}}_{i}}_{i = 1}^{m}$ 为特征子空间的基，扩充到全空间，使得 $V$ 的基为

\begin{matrix} (12) & {{\hat{e}}_{i}}_{i = 1}^{r} \cup {{\hat{θ}}_{i}}_{i = r + 1}^{m}, \end{matrix}

　　则在这组基下， $A$ 表示为

\begin{matrix} (13) & (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}), \end{matrix}

其中

A_{11}

为

A

在

λ_{0} -

特征子空间上的限制，

A_{12}, A_{22}

的列向量给出了

f (θ_{i})

。

　　因为复数域上的矩阵必然可以上三角化，所以在选择恰当特征基后， $A_{11}$ 的形式为主对角线是 $λ_{0}$ 的上三角矩阵。于是

\begin{matrix} (14) & det (A - λ E) = det (A_{11} - λ E) det (A_{22} - λ E) = (λ_{0} - λ)^{r} det (A_{22} - λ E), \end{matrix}

因此代数重数大于或等于

r

，得证。

　　读者亦可利用定理 1 把 $A$ 化作 Jordan 标准形。在这种形式下， $λ$ 的代数重数是出现在主对角线的次数，倘若 $λ$ 对应 $r$ 阶 Jordan 块，那么出现 $r$ 次。然而一个 Jordan 只对应一个特征向量，因此几何重数必然是小于或等于代数重数的。

1. ^ “方向” 只是从几何向量中沿用过来的一个习惯说法，注意式 1 中的所有量都可以是复数。两个向量方向相同意味着一个向量乘以标量（包括复数）可以得到另一个。
2. ^ 即对角线上的元为 1，其他元为 0，见 “矩阵”

矩阵的本征问题

几何意义

1. 求解本征方程

例 1 二维矩阵的本征方程

定理 1

推论 1

定理 2

2. 对角化与相似变换

定理 3

3. 相似不变量

习题 1

定理 4

推论 2

习题 2

定理 5

例 1　二维矩阵的本征方程

定理 1　

推论 1　

定理 2　

定理 3　

习题 1　

定理 4　

推论 2　

习题 2　

定理 5　