贡献者： addis
在物理中，我们遇到的本征问题中的矩阵往往是对称矩阵或厄米矩阵。我们下面来证明 $N$ 维对称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$，且本征值都是实数。另外，本征矢可以都是实数的，但也可以乘以一个任意复数。
未完成：需要把以下结论用定理的形式列出来
1. 证明本征值为实数
本征方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~.
\end{equation}
我们先假设本征值和本征矢都可能是复数，将本征方程左边乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~.
\end{equation}
将等式两边取厄米共轭（注意矢量也可以看成矩阵），由
式 3 和
式 2 可得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~.
\end{equation}
对比两式，得 $\lambda_i = \lambda_i^*$，所以 $\lambda_i$ 必为实数。
将本征方程记为
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{I}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
就会发现这是一个实系数的齐次方程组，所以必然能把所有线性无关的解都用实数矢量表示。但注意把任意解 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 乘以一个任意复数，同样也是方程的解。
2. 证明本征矢的正交性
简并空间内，我们可以认为地指定正交归一基底，所以只需要证明不同本征值对应的本征矢正交即可。
\begin{equation}
s = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} (\lambda_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = \lambda_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2~.
\end{equation}
使用矩阵乘法结合律
式 22 以及
式 3 得
\begin{equation}
s = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \lambda_1^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \lambda_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2~.
\end{equation}
以上两矢相等，因为 $\lambda_1 \ne \lambda_2$，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = 0$。
事实上，厄米矩阵也可以定义为满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2~.
\end{equation}
的矩阵。