对称矩阵的本征问题

                     

贡献者： addis

　　 在物理中，我们遇到的本征问题中的矩阵往往是对称矩阵或厄米矩阵。我们下面来证明 $N$ 维对称矩阵 $\mathbf{A}$ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_N$，且本征值都是实数。另外，本征矢可以都是实数的，但也可以乘以一个任意复数。

1. 证明本征值为实数

　　 本征方程为

我们先假设本征值和本征矢都可能是复数，将本征方程左边乘以 ${\mathbf{v}}_i$ 得 将等式两边取厄米共轭（注意矢量也可以看成矩阵），由式 3 和式 2 可得 对比两式，得 ${\lambda }_i={\lambda }_i^{\ast }$，所以 ${\lambda }_i$ 必为实数。

　　 将本征方程记为

就会发现这是一个实系数的齐次方程组，所以必然能把所有线性无关的解都用实数矢量表示。但注意把任意解 ${\mathbf{v}}_i$ 乘以一个任意复数，同样也是方程的解。

2. 证明本征矢的正交性

　　 简并空间内，我们可以认为地指定正交归一基底，所以只需要证明不同本征值对应的本征矢正交即可。

使用矩阵乘法结合律式 22 以及式 3 得 以上两矢相等，因为 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，所以 ${\mathbf{v}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{v}}_2=0$。

　　 事实上，厄米矩阵也可以定义为满足

的矩阵。