贡献者： 零穹; Giacomo
注：如无特殊声明，以下向量空间都是域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。
定义 1 不变子空间
相对于向量空间 $V$ 上的线性算子 $\mathcal{A}: V \rightarrow V$，子空间 $U \subseteq V$ 被称为不变的，如果 $\mathcal{A} U \subset U$。此时 $\mathcal{A}|_U: U \to U$ 是一个 $U$ 上的线性算子。
例 1
算子 $\mathcal{A}$ 的核 $\mathrm{Ker}\;\mathcal A$ 和像 $\mathrm{Im}\;\mathcal{A}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathrm{Ker}\;\mathcal{A}&=\{ v\in V|\mathcal{A} v= 0\}\\
\mathrm{Im}\;\mathcal{A}&=\{ w\in V| w=\mathcal{A} v,\forall v\in V\}~,
\end{aligned}
\end{equation}
都是 $\mathcal A$ 的不变子空间。
定理 1
有限维度向量空间 $V$ 的子空间 $U$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，当且仅当存在基底 $\mathcal{B}$，$\mathcal{B}_U: = \mathcal{B} \cap U$ 是 $U$ 的基底，使得算子 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $A$ 在基底 $\mathcal{B}$ 下可以写成上三角分块矩阵
\begin{equation}
A = \begin{pmatrix}
A_U & B\\
0 & C
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
其中，$A_U$ 是 $\mathcal{A}|_{U}: U \to U$ 的在 $\mathcal{B}_U$ 下的矩阵形式。
定理 2
对于有限维度向量空间 $V$，如果子空间 $U$ 是可逆算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，那么 $\mathcal{A} U = U$。
例 2
上述定理在无限维度时不成立：对于空间
$$
V: = \{ (\dots, a_{-1}, a_0, a_1, \dots) \mid a_i \in \mathbb{F}\}~,
$$
即向双向无限延伸的序列的；$\mathbb{A}$ 是右移算符（它的逆运算是左移动算符，因此是可逆的），那么我们可以取
$$
U: = \{ (\dots, 0, a_0, a_1, \dots) \in V \}~,
$$
即 $a_i = 0, \forall i < 0$，可以发现
$$
\mathcal{A} U = \{ (\dots, 0, a_0, a_1, \dots) \in U \mid a_0 = 0 \}~
$$
是 $U$ 的真子集。
定理 3
向量空间 $V$ 可以写成算子 $\mathcal{A}$ 的两个不变子空间的直和，当且仅当存在基底 $(e_1, \dots, e_n)$ 使得算子 $\mathcal{A}$ 可以表示成分块对角矩阵
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
A_1 & 0\\
0 & A_2
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
证明：1. ($\Rightarrow$)，记两个不变子空间为 $U$ 和 $V$，取 $U$ 的基底 $\{e_1 ,\cdots, e_m\}$，$W$ 的基底 $\{e_{m+1}, \cdots, e_n\}$，则由定理 1 ，$\{e_{1}, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的基底。
由于 $\mathcal{A}u\in U, \mathcal{A} w\in W,\forall u\in U, w\in W$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{A} e_j&=\sum_{i=1}^m a_{ij} e_i\quad (j=1,\cdots ,m)~,\\
\mathcal{A} e_j&=\sum_{i=m+1}^n a_{ij} e_i\quad (j=m+1,\cdots ,n)~.
\end{aligned}
\end{equation}
记 $\mathcal{A}|_U$ 的矩阵为 $A_1$，$\mathcal{A}|_W$ 的矩阵为 $A_2$，我们得到
\begin{equation}
A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}
A_1 & 0\\
0 & A_2
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
2. ($\Leftarrow$)，记 $m: = \dim(A_1)$，$U: = \langle e_1, \cdots, e_m\rangle$，$W: = \langle e_{m + 1}, \cdots, e_n\rangle$，可得 $U, W$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，$V = U \oplus W$。
证毕！
定义 2 算子的直和
若向量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间 $U,W$ 的直和 $V=U\oplus W$，则称算子 $\mathcal{A}$ 是其限制在 $U,W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 的直和，并记作
\begin{equation}
\mathcal{A}=\mathcal{A}_U \oplus \mathcal{A}_W~.
\end{equation}
（有时亦记做 $\dot{+}$）。