Euler-Mascheroni 常数

贡献者： EsphaⅨ; 零穹

　　 其中可以把 $1/m$ 看成区间 $[m,m+1]$ 内高为 $1/m$ 矩形的面积，而 $\ln n$ 是函数 $1/x$ 在区间 $[1,n]$ 的定积分（函数曲线下方的面积），如图 1 。

　　 式 1 的收敛也可以用于证明调和级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 不收敛：因为极限 $\ln n(n\to \mathrm{\infty })$ 不收敛。

　　 下证 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-lnk)$ 收敛：
由Euler-Maclaurin 求和公式, $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}={\int }_1^n\frac{1}{x}dx+\frac{1+\frac{1}{n}}{2}-{\int }_1^n\psi (x)\frac{1}{x^2}dx$$
显然 ${\int }_1^n\psi (x)\frac{1}{x^2}dx$ 收敛，得 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=lnn=\gamma$