调和数（基础）
贡献者： hfb25
预备知识 数论函数
，Euler-Mascheroni 常数
调和级数是有名的发散级数，也是最简单的发散级数之一。既然我们不能求出发散级数的值，那我们总能计算出它的部分和，或是它趋向无穷大的阶吧。但是实际上它的部分和没有特别简单的表达式，于是，一个简单粗暴的方法是，直接把调和级数的部分和定义为一个数论函数。
定义 1 调和数
第 $n$ 调和数 $H_n$ 定义为调和级数的第 $n$ 部分和，即
\begin{equation}
H_n = \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}~.
\end{equation}
可以通过积分的方法给出 $H_n$ 的阶。
定理 1 调和数的阶
当 $n\to\infty$ 时，
\begin{equation}
H_n = \log n + \gamma + O(1/n) ~.
\end{equation}
其中 $\gamma$ 称为 Euler-Mascheroni 常数。
证明:
\begin{equation}
\begin{aligned}
H_n & = \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\\
& = \sum_{i=1}^n\int_n^{n+1}\frac{1}{n} \,\mathrm{d}{t} \\
& = \sum_{i=1}^n\int_n^{n+1} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} +\int_1^{t+1}\frac{1}{t} \,\mathrm{d}{t} \\
& = \log n+\sum_{i=1}^n\int_n^{n+1} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} +\log \left(1+\frac{1}{n} \right) \\
& = \log n+\int_1^{n+1} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} +\log \left(1+\frac{1}{n} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们来考察次项这个积分趋近无限时的表现，
\begin{equation}
\int_n^{n+1} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} <\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}~,
\end{equation}
可以知道，级数
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{+\infty} \int_n^{n+1} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} ~
\end{equation}
收敛，也就是积分收敛。令
\begin{equation}
\gamma = \int_1^{+\infty} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} = \sum_{i=1}^{+\infty} \int_n^{n+1} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
我们得到
\begin{aligned}
\int_1^{n+1} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t} &=\gamma - \int_{n+1}^{+\infty} \left(\frac{1}{\lfloor t\rfloor}-\frac{1}{t} \right) \,\mathrm{d}{t}
\end{aligned}
进而有