贡献者： hfb25
我们从最常见的两个全序集开始，即 $(\mathbb{Q};\leq),(\mathbb{R};\leq)$。我们知道它们可以表示在数轴上，如下图。
未完成：缺少图。
直观上，有理数集密集在数轴上，实数集则填满了整个数轴。在数学上，我们分别称之为稠密性和完备性。
1.（序）稠密性
如何严格定义稠密性呢？不妨以自然数和有理数为例。
我们说自然数集是离散的，因为两个相邻的自然数之间不能有其他自然数，所以是有 “空隙” 的。比如不存在一个自然数既大于 3 又小于 4。从数轴上看，自然数集是一系列零散的点。
那么对于有理数呢？有理数集应该是稠密的，这符合我们的直观。当我们想进行类似于自然数的讨论时，一个问题就出现了：不存在两个相邻的有理数。比如对于 0 和 1，$\frac{1}{2}$ 就在它们之间，因此 0 和 1 不相邻。实际上，对任何两个有理数都是如此。仔细一想，这不就反映了稠密的本质吗？
因此，我们有如下的定义。
定义 1 （序）稠密性
如果偏序集 $(A;\leq)$ 满足对任意 $a,b\in A$，存在 $c\in A$ 使 $a\leq c\leq b$，则称 $(A;\leq)$ 是（序）稠密的。
如果偏序集 $(A;\leq)$ 的一个非空子集 $B$ 满足对任意 $a,b\in A$，且 $a\neq b$，存在 $c\in B$ 使 $a\leq c\leq b$，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密，或称 $B$ 是 $A$ 的稠密子集。
例 1
$(\mathbb{Q};\leq),(\mathbb{R};\leq)$ 是稠密的，且 $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个稠密子集。
注意对于 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 而言，当 $a\leq b$ 时总有 $a\leq\frac{a+b}{2}\leq b$。
此外由实数的阿基米德性可推出 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。1
例 2
$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 按字典序稠密。一般地，对于两稠密的偏序集，其积按字典序稠密。
例 3
$\mathbb{C}$ 按如下的偏序稠密：
$a+b \mathrm{i} \leq c+d \mathrm{i} \Longleftrightarrow a\leq c,b\leq d.$
通常我们只讨论全序集的稠密性。
2. 上、下界与上、下确界
实际上，有理数与实数集是有区别。如果仔细思考，会发现有理数也是有 “空隙” 的，比如，$\sqrt{2}$ 不是无理数。如果学过数列极限，这种” 空隙” 就是所谓的柯西序列不收敛，但这其实有更本质的原因。
为此，我们引入下面的概念。
未完成：与 “上确界和下确界” 的文章进行整合。
定义 2 上、下界
在全序集 $(A;\leq)$ 中，$B$ 是 $A$ 的非空子集，
- 元素 $M\in A$ 称为 $B$ 的一个上界，如果对任意 $b\in B$，都有 $b\leq M$。
- 元素 $m\in A$ 称为 $B$ 的一个下界，如果对任意 $b\in B$，都有 $m\leq b$。
定义 3 上、下确界
在全序集 $(A;\leq)$ 中，$B$ 是 $A$ 的非空子集，分别记 $B$ 所有上界和所有下界构成的集合为 $S$ 和 $I$。
- $S$ 的极小元（若存在）称为 $B$ 的上确界，记为 $\sup B$。
- $I$ 的极大元（若存在）称为 $B$ 的下确界，记为 $\inf B$。
习题 1
证明：对全序集 $(A;\leq)$ 的任意非空子集 $B$，$\sup B\geq\inf B$。
习题 2
证明在 $(\mathbb{R};\leq)$ 中，$a$ 是某个数集 $B$ 的上确界等价于 $a$ 是 $B$ 的上界且对任意正实数 $\eta$，均存在 $b\in B$ 使 $a-\eta< b$.
3.（序）完备性
下来我们给出完备性的定义。
定义 4 （序）完备性
全序集 $(A;\leq)$ 称为完备的，如果对任意非空集合 $B\subseteq A$，$\sup B$ 存在。
根据对偶原理，说 $\inf B$ 存在是一样的。
对于实数集而言，$\mathbb{R}$ 上的闭区间完备应视作实数集应满足的一条公理。而实际上，$\mathbb{R}$ 本身不是序完备的2。
例 4 有理数集的不完备性
考虑集合 $\{x\in\mathbb{Q}|1< x<2,x^2>2\}$，它没有下确界。
这并不代表完备性的定义有问题，因为对应的 $\{x\in\mathbb{Q}|1< x<2,x^2<2\}$ 没有上确界。
4. 完备性的拓扑视角
在此先了解序拓扑。
定义 5 序拓扑
对于偏序集 $(A;\leq)$，由开区间为基生成的拓扑称为序拓扑。
未完成：序拓扑下区间的连续性和闭区间的紧致性的证明。
1. ^ 实数的阿基米德性是指对任意正实数 $a,b$，总存在正整数 $n$ 使 $na>b$.
2. ^ 但是 $\mathbb{R}$ 是完备度量空间，这就是序完备性和度量空间完备性的区别。