稠密性与完备性

                     

贡献者: hfb25

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预备知识 连续性,紧致性

   我们从最常见的两个全序集开始,即 $(\mathbb{Q};\leq),(\mathbb{R};\leq)$。我们知道它们可以表示在数轴上,如下图。

  

未完成:缺少图。

   直观上,有理数集密集在数轴上,实数集则填满了整个数轴。在数学上,我们分别称之为稠密性和完备性。

1.(序)稠密性

   如何严格定义稠密性呢?不妨以自然数和有理数为例。

   我们说自然数集是离散的,因为两个相邻的自然数之间不能有其他自然数,所以是有 “空隙” 的。比如不存在一个自然数既大于 3 又小于 4。从数轴上看,自然数集是一系列零散的点。

   那么对于有理数呢?有理数集应该是稠密的,这符合我们的直观。当我们想进行类似于自然数的讨论时,一个问题就出现了:不存在两个相邻的有理数。比如对于 0 和 1,$\frac{1}{2}$ 就在它们之间,因此 0 和 1 不相邻。实际上,对任何两个有理数都是如此。仔细一想,这不就反映了稠密的本质吗?

   因此,我们有如下的定义。

定义 1 (序)稠密性

   如果偏序集 $(A;\leq)$ 满足对任意 $a,b\in A$,存在 $c\in A$ 使 $a\leq c\leq b$,则称 $(A;\leq)$ 是(序)稠密的

   如果偏序集 $(A;\leq)$ 的一个非空子集 $B$ 满足对任意 $a,b\in A$,且 $a\neq b$,存在 $c\in B$ 使 $a\leq c\leq b$,则称 $B$ 在 $A$ 中稠密,或称 $B$ 是 $A$ 的稠密子集

例 1 

   $(\mathbb{Q};\leq),(\mathbb{R};\leq)$ 是稠密的,且 $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个稠密子集。

   注意对于 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 而言,当 $a\leq b$ 时总有 $a\leq\frac{a+b}{2}\leq b$。

   此外由实数的阿基米德性可推出 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。1

例 2 

   $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 按字典序稠密。一般地,对于两稠密的偏序集,其积按字典序稠密。

例 3 

   $\mathbb{C}$ 按如下的偏序稠密:

   $a+b \mathrm{i} \leq c+d \mathrm{i} \Longleftrightarrow a\leq c,b\leq d.$

   通常我们只讨论全序集的稠密性。

2. 上、下界与上、下确界

   实际上,有理数与实数集是有区别。如果仔细思考,会发现有理数也是有 “空隙” 的,比如,$\sqrt{2}$ 不是无理数。如果学过数列极限,这种” 空隙” 就是所谓的柯西序列不收敛,但这其实有更本质的原因。

   为此,我们引入下面的概念。

未完成:与 “上确界和下确界” 的文章进行整合。

定义 2 上、下界

   在全序集 $(A;\leq)$ 中,$B$ 是 $A$ 的非空子集,

  • 元素 $M\in A$ 称为 $B$ 的一个上界,如果对任意 $b\in B$,都有 $b\leq M$。
  • 元素 $m\in A$ 称为 $B$ 的一个下界,如果对任意 $b\in B$,都有 $m\leq b$。

定义 3 上、下确界

   在全序集 $(A;\leq)$ 中,$B$ 是 $A$ 的非空子集,分别记 $B$ 所有上界和所有下界构成的集合为 $S$ 和 $I$。

  • $S$ 的极小元(若存在)称为 $B$ 的上确界,记为 $\sup B$。
  • $I$ 的极大元(若存在)称为 $B$ 的下确界,记为 $\inf B$。

习题 1 

   证明:对全序集 $(A;\leq)$ 的任意非空子集 $B$,$\sup B\geq\inf B$。

习题 2 

   证明在 $(\mathbb{R};\leq)$ 中,$a$ 是某个数集 $B$ 的上确界等价于 $a$ 是 $B$ 的上界且对任意正实数 $\eta$,均存在 $b\in B$ 使 $a-\eta< b$.

3.(序)完备性

   下来我们给出完备性的定义。

定义 4 (序)完备性

   全序集 $(A;\leq)$ 称为完备的,如果对任意非空集合 $B\subseteq A$,$\sup B$ 存在。

   根据对偶原理,说 $\inf B$ 存在是一样的。

   对于实数集而言,$\mathbb{R}$ 上的闭区间完备应视作实数集应满足的一条公理。而实际上,$\mathbb{R}$ 本身不是序完备的2

例 4 有理数集的不完备性

   考虑集合 $\{x\in\mathbb{Q}|1< x<2,x^2>2\}$,它没有下确界。

   这并不代表完备性的定义有问题,因为对应的 $\{x\in\mathbb{Q}|1< x<2,x^2<2\}$ 没有上确界。

4. 完备性的拓扑视角

   在此先了解序拓扑。

定义 5 序拓扑

   对于偏序集 $(A;\leq)$,由开区间为基生成的拓扑称为序拓扑

  

未完成:序拓扑下区间的连续性和闭区间的紧致性的证明。


1. ^ 实数的阿基米德性是指对任意正实数 $a,b$,总存在正整数 $n$ 使 $na>b$.
2. ^ 但是 $\mathbb{R}$ 是完备度量空间,这就是序完备性和度量空间完备性的区别。

                     

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