贡献者： JierPeter; addis
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1. 星算子的定义
考虑 $n$ 维线性空间 $V$ 上的外代数 $\bigwedge V$，我们注意到各阶的外积空间具有明显的对称性：$ \operatorname {dim}\bigwedge^k V=C^k_n=C^{n-k}_n= \operatorname {dim}\bigwedge^{n-k} V$。这意味着这样的一对空间之间存在线性同构，我们使用星算子 $\star$ 来描述这一同构。
定义前的准备
星算子是一个映射，把一个 $\bigwedge^k V$ 中的元素 $\omega$ 映射为一个 $\bigwedge^{n-k} V$ 中的元素 $\star\omega$。为了方便定义星算子，我们要先扩张一下内积的定义：
定义 1 $k$-向量的内积
设线性空间上有内积，即对于向量 $\alpha$ 和 $\beta$，有内积 $\langle \alpha, \beta \rangle$。
给定向量 $\alpha_i$ 和 $\beta_j$，构成两个 $k$-向量 $\omega_\alpha=\alpha_1\wedge \alpha_2\wedge \cdots\wedge \alpha_k$ 和 $\omega_\beta=\beta_1\wedge \beta_2\wedge \cdots\wedge \beta_k$。则这两个 $k$-向量的内积定义为
\begin{equation}
\langle\omega_\alpha, \omega_\beta\rangle = \det \begin{pmatrix}\langle \alpha_i, \beta_j \rangle_{i, j=1}^k\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
即用各 $\langle \alpha_i, \beta_j \rangle$ 构成的方阵的行列式。
显然，如果有某个 $\beta_j$ 正交于所有 $\alpha_i$，那么式 1 就是 $0$。这一点对于霍奇星算子的性质很重要。
例 1 $2$-向量的内积
设二维欧几里得空间有极坐标的坐标函数 $r$ 和 $\theta$，诱导出余切向量的基 $\{ \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} \}$。于是，基向量的内积为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{r} \rangle &= 1\\
\langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle &= 0 = \langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{r} \rangle\\
\langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle &= \frac{1}{r^2}~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
构造 $2$-向量 $\omega_1=a_1 \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $ 和 $\omega_2=a_2 \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $，则它们的内积为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle\omega_1, \omega_2\rangle &= a_1a_2\det \begin{pmatrix}
\langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{r} \rangle&\langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle\\
\langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{r} \rangle&\langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle
\end{pmatrix} \\
&= \frac{a_1a_2}{r^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
另一等价所需要的预备知识则是如下定义的复杂指标。
定义 2 复杂指标（正整数指标）
给定正整数指标集合 $\Gamma=\{1, 2, \cdots, n\}$。设 $I$ 是 $\Gamma$ 的 $k$ 次有序子集，即对于一个正整数 $k\leq n$，存在一个置换 $\sigma\in S_n$，将 $I$ 表示为 $(\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(k))$。
再定义 $I$ 的补集 $\bar{I}=(\sigma(k+1), \cdots, \sigma(n))$，如果 $k=n$ 则 $\bar{I}=\varnothing$。
则光滑函数 $\omega_{\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(k)}$ 表示为 $\omega_I$，向量 $v^{\sigma(1)}\wedge v^{\sigma(2)}\wedge \cdots\wedge v^{\sigma(k)}$ 表示为 $v^I$。
复杂指标也应用爱因斯坦求和约定：$\omega_I v^I$ 是 $I$ 遍历所有 $k$ 次有序子集、或者特别声明的范围后，所得结果的乘积。
可以看到，之所以要求 $I$ 是有序的，是因为外积有次序要求。定义中使用正整数是为了方便，实际上复杂指标的概念也可以推广到任意指标集合上。
例 2 复杂指标的一个例子
设 $I$ 的取值范围为 $\{(1, 2), (2, 3), (3, 1)\}$，那么 $\omega_{1,2} \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2+\omega_{2,3} \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+\omega_{3, 1} \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1$ 表示为 $\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^I$。
特别地，外导数可以表示为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^I \right) = \,\mathrm{d}{\omega} _I\wedge \,\mathrm{d}{x} ^I~.
\end{equation}
星算子的定义
定义 3 霍奇星算子
在 $n$ 维线性空间 $V$ 的外代数 $\bigwedge V$ 上任取$k$-向量 $\alpha$ 和 $\beta$，且有标准正交基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$。为方便，记 $\omega=e_1\wedge e_2\wedge \cdots\wedge e_n$1。定义映射 $\star:\bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$ 如下：
\begin{equation}
\alpha\wedge \star\beta = \langle\alpha, \beta\rangle\omega~.
\end{equation}
称 $\star$ 是 $\bigwedge V$ 上的
霍奇星算子（Hodge star operator 或 Hodge star），或
霍奇对偶（Hodge dual）。
使用复杂指标可以得到另一种定义方式：
定理 1 霍奇星算子（等价定义）
设 $I$ 是定义 1 中描述的一个复杂指标，$\bar{I}$ 是其补，$\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是线性空间的一组标准正交基，则
\begin{equation}
\star e_I = ( \operatorname {sign}\sigma) e_{\overline{I}}~.
\end{equation}
欧几里得空间中，如果用通常的标准正交坐标系，坐标函数为 $x^1, x^2, \cdots, x^n$，那么体积形式为 $ \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x} ^n$，于是
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^2 &= \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n\\
\star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 &= - \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
如果流形上坐标函数仍记为 $x^1, x^2, \cdots, x^n$，而某处的体积形式为 $\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x} ^n$，则式 7 的例子应变为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\frac{\star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^2}{\langle \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2, \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\rangle} &= \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n\\
\frac{\star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^3}{\langle \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3, \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\rangle} &= -\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n
~. \end{aligned}\right.
\end{equation}
2. 星算子的性质
定理 2 线性性
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，取 $v_i\in\bigwedge^k V$，$a_i$ 为 $V$ 的基域中的元素，则 $\star(a_1v_1+a_2v_2)=a_1\star v_1+a_2\star v_2$。
证明：
取 $V$ 的标准正交基 $\{e_i\}$，记其体积形式为 $\omega$。任取 $k$ 次复杂指标 $I$、$I_1$ 和 $I_2$，分别对应置换 $\sigma$、$\sigma_1$ 和 $\sigma_2$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
e_{\overline{I}}\wedge \star a_1 e_I &= a_1\langle e_{\overline{I}}, e_I \rangle \omega\\
&= e_{\overline{I}}\wedge a_1\star e_I~.
\end{aligned}
\end{equation}
故
\begin{equation}
\star a_1e_I = a_1\star e_I~,
\end{equation}
又因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle e_I, (e_{I_1}+e_{I_2}) \rangle \omega &= \langle e_I, e_{I_1} \rangle\omega + \langle e_I, e_{I_2} \rangle\omega\\
\end{aligned} ~,
\end{equation}
故得
\begin{equation}
e_I\wedge \star(e_{I_1}+e_{I_2}) = e_I\wedge e_{I_1} + e_I\wedge e_{I_2}~.
\end{equation}
综合式 10 和式 12 ，并考虑到复杂指标选取的任意性，即可得证。
证毕。
定理 3 对偶
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，取 $v\in\bigwedge^k V$，则 $\star \star v = (-1)^{(n-k)k} v$。
证明：
取 $V$ 的标准正交基 $\{e_i\}$，任取一个 $k$ 次复杂指标 $I$，其对应的置换为 $\sigma$，补为 $\bar{I}$，则由定理 1 和定理 2 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star \star e_I &= \star( \operatorname {sign}\sigma)e_{\overline{I}}\\
&= ( \operatorname {sign}\sigma)\star e_{\overline{I}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
复杂指标 $\bar{I}$ 对应的置换 $\bar{\sigma}$，相当于进行 $\sigma$ 置换后再把后 $n-k$ 个元素整体挪到前面，也就是进行 $\sigma$ 后再进行 $(n-k)k$ 次对换。因此，$ \operatorname {sign}\bar{\sigma}=(-1)^{(n-k)k} \operatorname {sign}\sigma$，故将 $\star e_{\overline{I}}= \operatorname {sign}\bar{\sigma}e_I$ 代入式 13 后有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star \star e_I &= ( \operatorname {sign}\sigma)\star e_{\overline{I}}\\
&= (-1)^{(n-k)k}( \operatorname {sign}\sigma)^2 e_I~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
定理 3 的例子请参见子节 3 。
3. 常见例子
二维欧几里得空间
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star e_x &= e_y~,\\
\star e_y &= -e_x~.
\end{aligned}
\end{equation}
三维欧几里得空间
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\star 1 &= \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\
\star \,\mathrm{d}{x} &= \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\
\star \,\mathrm{d}{y} &= \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} \\
\star \,\mathrm{d}{z} &= \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \\
\star \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} &= \,\mathrm{d}{x} \\
\star \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} &= \,\mathrm{d}{y} \\
\star \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} &= \,\mathrm{d}{z} \\
\star \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} & = 1~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
四维闵可夫斯基时空
取通常的参考系 $(t, x, y, z)$，注意由于闵可夫斯基度量是 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag} (1, -1, -1, -1)$，故这不是一个标准正交基，不适用定理 1 。但是可以取体积形式 $\omega= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} $，适用定义 3 。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star \,\mathrm{d}{t} &= \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} ~,\\
\star \,\mathrm{d}{x} &= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} ~,\\
\star \,\mathrm{d}{y} &= - \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{z} ~,\\
\star \,\mathrm{d}{z} &= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
如果取不同的号差，即 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag} (-1, 1, 1, 1)$，则式 17 应变为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star \,\mathrm{d}{t} &= - \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} ~,\\
\star \,\mathrm{d}{x} &= - \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} ~,\\
\star \,\mathrm{d}{y} &= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{z} ~,\\
\star \,\mathrm{d}{z} &= - \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 如果这里的 $V$ 是流形上的余切空间，则 $\omega$ 就是给定点处的体积形式。