贡献者： JierPeter
本文中 $c=1$，闵可夫斯基空间度规为 $g_{\mu\nu} = \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$。
文中希腊字母表示的指标如 $\mu$、$\nu$ 等，指标取值范围为 $0, 1, 2, 3$，其中 $x^0$ 表示时间坐标 $t$；拉丁字母表示的指标如 $i$、$j$ 和 $k$ 等，指标取值范围为 $1, 2, 3$。
1. 自由粒子和自由场
拉格朗日函数能描述场和粒子的运动规律。如果宇宙中只存在一个场或者粒子，我们就说它是自由的，因为不存在任何其它东西与它相互作用。
粒子
自由粒子的拉格朗日函数如何确定？注意到拉格朗日的积分，即作用量，作为运动轨迹的泛函，和坐标的选取无关，因此我们可以猜想用只和轨迹相关的某个泛函作为作用量。最直接的想法是什么呢？轨迹的 “长度”：
\begin{equation}
S(\Gamma) = \int_\Gamma \,\mathrm{d}{s} ~.
\end{equation}
这里的 $\Gamma$ 为给定的轨迹，$ \,\mathrm{d}{s} $ 为轨迹上两点的微分
1。有的材料里，也把间隔 $ \,\mathrm{d}{s} $ 记为
固有时$ \,\mathrm{d}{\tau} $。
如果你更习惯把作用量看成对时间的积分，那么式 1 也可以写为
\begin{equation}
S(\Gamma) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是三维速度，由 $\Gamma$ 给定。为了方便表述，我们用微分几何的语言，记 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2=\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}$。
将式 2 代入欧拉—拉格朗日方程方程，得这个作用量所确定的粒子运动：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\sqrt{1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2}} = 0~,
\end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为常量。这确实符合四动量守恒定律，因此是狭义相对论的合理运动。
在经典力学中我们知道，同一运动轨迹可以由不同形式的拉格朗日函数确定。比如，两个拉格朗日函数如果只差一个常数倍数，那它们确定的运动规律完全相同。因此，我们应设自由粒子的拉格朗日函数为
\begin{equation}
\mathcal{L}(t, x^i, \dot{x}^i) = \alpha\sqrt{1-\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}}~.
\end{equation}
当 $v\ll 1$，近似有 $\sqrt{1-v^2}=1-\frac{v^2}{2}$，而经典力学的自由粒子作用量为 $\frac{mv^2}{2}$。又考虑到我们需要的是最小作用量原理，即粒子的合法轨迹应该是作用量极小而非极大的情况，故需要设 $\alpha=-m$ 以满足这两个条件。
综上可得自由粒子的拉格朗日函数
\begin{equation}
\mathcal{L}(t, x^i, \dot{x}^i) = -m\sqrt{1-\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}}~.
\end{equation}
习题 1
如果不设 $c=1$，而需要带着 $c$ 计算，那么式 5 应该是什么样，才能和经典力学统一？
1. ^ 即任取轨迹上两点，求它们的间隔，然后令两点趋于同一点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$，则所求的间隔趋于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处的 $ \,\mathrm{d}{s} $。