一维 delta 势能晶格

贡献者： addis

预备知识　布洛赫理论

　　¹本文使用原子单位制。势能为

\begin{matrix} (1) & V (x) = α \sum_{j \in Z} δ (x - j a), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & k = \sqrt{2 m E} . \end{matrix}

在

x = j a

处匹配边界条件，得

\begin{matrix} (3) & \cos (K a) = \cos (k a) + \frac{m α}{k} \sin (k a) . \end{matrix}

由此可以对不同的

K

解出不同的

k

或能量

E

，每个解对应一个 “束缚态”。

　　解出来以后会发现得到了许多能带（band），每个能带中有间隔密集的能级，能带之间存在能隙或带隙（band gap）。

　　如果电子把能带刚好填满，那么就是绝缘体；如果没有满就是导体。如果势能有参杂，导致出现了空穴以及多余的电子跑到上一个能带，那就是半导体。

1. ^ 参考 [1]

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed