有界集

贡献者：零穹

预备知识　拓扑向量空间

　　有界集的概念在拓扑线性空间起着重要的作用，它不仅是能够用来判定一个集合、空间是否有界，还是定义有界算子的基础。

定义 1　有界集

　　在拓扑线性空间中的集合 $M$ 称为有界的（bounded），是指对每一个零邻域（零矢量的邻域） $U$ ，存在 $n > 0$ ，使得对所有 $| λ | \geq n, M \subset λ U$ 。

　　有界集的概念和我们在赋范空间中按范数有界（即可把集置于某一球 $‖ x ‖ \leq R$ 内部）的理解是一致的。

定义 2　局部有界

　　拓扑线性空间 $E$ 称为局部有界的，若 $E$ 中至少存在一个非空有界开集。

　　对于有界性有下面的定理成立。

定理 1　

　　设 $E$ 是拓扑线性空间，则成立：

集 $M \subset E$ 是有界的，当且将当对任何序列 ${x_{n}} \subset M$ 及任何趋于零的正数列 ${ϵ_{n}}$ ，序列 $ϵ_{n} x_{n}$ 趋于零；
若 ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset E$ 且 $x_{n} \to x$ ，则 ${x_{n}}$ 是有界集；
如果 $E$ 局部有界，则在 $E$ 中第一可数性公理成立。

　　这里只证明定理的一部分。

引理 1　

　　设 ${x_{n}}$ 是 $E$ 上收敛到 $x$ 的序列， ${t_{n}}$ 是收敛于 0 的数列。则 ${t_{n} x_{n}}$ 是 $E$ 中收敛于 0（向量）的序列。

　　 证明：任意零邻域 $U$ ， $U + x$ 是 $x$ 的邻域，因此存在 $N$ ，使得 $x_{i} \in U + x, i \geq N$ ，进而 $x_{i} - x \in U, i \geq N$ ，即 ${x_{n} - x}$ 是 $E$ 上收敛于 0 的序列。

　　由数乘的连续性，任意零邻域 $U$ ，存在 $x$ 的邻域 $U_{x}$ 和 $δ > 0$ ，使得 $[- δ, δ] \cdot U_{x} \subset U$ 。由于 ${x_{n}} \to x, {t_{n}} \to 0$ ，所以存在 $N_{1}, N_{2} > 0$ ，使得只要 $n_{1} \geq N_{1}, n_{2} \geq N_{2}$ ，就有 $x_{n_{1}} \in U_{x}, t_{n_{2}} \in [- δ, δ]$ 。取 $N = max {N_{1}, N_{2}}$ ，则对 $n > N$ ，成立

\begin{matrix} (1) & t_{n} x_{n} \in [- δ, δ] \cdot U_{x} \subset U . \end{matrix}

于是

{t_{n} x_{n}}

收敛于 0。

　　 证毕！

　　 定理 1 的证明：1.必要性：要证 $ϵ_{n} x_{n} \to 0$ ，就是要证对任一零邻域 $U$ ，存在正整数 $N$ ，使得 $n \geq N$ ，就有 $ϵ_{n} x_{n} \subset U$ 。其证明如下：

　　由数乘的连续性，对任一零邻域 $U$ ，存在 $δ > 0$ 和零邻域 $V$ ，使得 $(- δ, δ) \cdot V \subset U$ ；由 $M$ 的有界性，存在 $m > 0$ ，使得只要 $| λ | \geq m$ ，就有 $M \subset λ V$ 。因此 $ϵ_{n} x_{n} = ϵ_{n} λ y_{n}$ ，其中 $y_{n} \in V$ 。

　　因为 ${ϵ_{n}}$ 趋于零，所以存在 $N$ ，使得只要 $n \geq N$ ，就有 $| ϵ_{n} λ | < δ$ 。从而 $ϵ_{n} x_{n} = ϵ_{n} λ y_{n} \in U$ 对 $n \geq N$ 恒成立。

　　 2. 设 ${x_{n}}$ 无界。则存在零邻域 $U$ ，使得任意 $m > 0$ ，存在 $t \geq m, y \in {x_{n}}, x \notin t U$ ，或 $t^{- 1} x \notin U$ 。选取 ${m_{n}} \to \infty$ ，于是存在 ${t_{n}} \to \infty$ ，使得 $t_{n}^{- 1} y_{n} \notin U$ 对所有的 $n$ 成立。下面将证明这是不可能的：

　　若点列 ${t_{n}^{- 1} y_{n}}$ 包含 ${x_{n}}$ 的"无限"个点，即任意 $N > 0$ ，有 $i > N$ ，使得 $x_{i} \in {y_{n}}$ 。那么对任意 $N > 0$ ，存在 $N_{2} > 0$ ，使得 $i \geq N_{2}$ ， $y_{i} \in {x_{n} | n \geq N}$ ：否则，存在 $N > 0$ ，使得对任意 $N_{2} > 0, i \geq N_{2}$ ，都有 $y_{i} \notin {x_{n} | n \geq N}$ ，于是一切 $y_{i}$ 只能在 ${x_{1}, \dots, x_{N}}$ 中取值而不能取 $N$ 后 $x_{i}$ ，这和假设矛盾。因此此时对从某项 $N$ 开始落入任一 $x$ 邻域的 $x_{i}$ 而言，对充分大的 $N_{2}$ ，从该项开始 $y_{i}$ 落入该邻域，即 ${y_{n}} \to x$ 。由引理 1 ，这和 ${t_{n}^{- 1} y_{n}} \to 0$ ，这和所有的 $n$ ， $t_{n}^{- 1} y_{n} \notin U$ 矛盾。

　　设点 ${y_{n}}$ 只取 ${x_{n}}$ 上的有限个点 $x_{1}, \dots, x_{M}$ 。那么由引理 1 ，每一序列 ${t_{n}^{- 1} x_{i}}, i = 1 \dots, M$ 都收敛于 0。即对任意零邻域 $U$ ，存在 $N_{1}, \dots, N_{M} > 0$ ，只要 $n_{i} \geq N_{i}, i = 1, \dots, M$ ，就有 $t_{n_{i}} x_{n_{i}} \in U$ 。取 $N = max {N_{i} | i = 1, \dots, M}$ ，则只要 $n \geq N$ ，就有 $t_{n} y_{n} \in U$ ，即 ${t_{n} y_{n}} \to 0$ ，这也和所有的 $n$ ， $t_{n}^{- 1} y_{n} \notin U$ 矛盾。

　　因此第 2 点得证。

　　 证毕！

有界集

定义 1 有界集

定义 2 局部有界

定理 1

引理 1

定义 1　有界集

定义 2　局部有界

定理 1　

引理 1　