有界集

                     

贡献者： 零穹

预备知识　拓扑向量空间

　　 有界集的概念在拓扑线性空间起着重要的作用，它不仅是能够用来判定一个集合、空间是否有界，还是定义有界算子的基础。

定义 1　有界集

　　 在拓扑线性空间中的集合 $M$ 称为有界的（bounded），是指对每一个零邻域（零矢量的邻域）$U$，存在 $n>0$，使得对所有 $ \left\lvert \lambda \right\rvert \geq n,M\subset \lambda U$。

　　 有界集的概念和我们在赋范空间中按范数有界（即可把集置于某一球 $ \left\lVert x \right\rVert \leq R$ 内部）的理解是一致的。

定义 2　局部有界

　　 拓扑线性空间 $E$ 称为局部有界的，若 $E$ 中至少存在一个非空有界开集。

　　 对于有界性有下面的定理成立。

定理 1　

　　 设 $E$ 是拓扑线性空间，则成立：

  1. 集 $M\subset E$ 是有界的，当且将当对任何序列 $\{x_n\}\subset M$ 及任何趋于零的正数列 $\{\epsilon_n\}$，序列 $\epsilon_n x_n$ 趋于零；
  2. 若 $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset E$ 且 $x_n\rightarrow x$，则 $\{x_n\}$ 是有界集；
  3. 如果 $E$ 局部有界，则在 $E$ 中第一可数性公理成立。

　　 这里只证明定理的一部分。

引理 1　

　　 设 $\{x_n\}$ 是 $E$ 上收敛到 $x$ 的序列，$\{t_n\}$ 是收敛于 0 的数列。则 $\{t_nx_n\}$ 是 $E$ 中收敛于 0（向量）的序列。

　　 证明：任意零邻域 $U$，$U+x$ 是 $x$ 的邻域，因此存在 $N$，使得 $x_i\in U+x,i\geq N$，进而 $x_i-x\in U,i\geq N$，即 $\{x_n-x\}$ 是 $E$ 上收敛于 0 的序列。

　　 由数乘的连续性，任意零邻域 $U$，存在 $x$ 的邻域 $U_x$ 和 $\delta>0$，使得 $[-\delta,\delta]\cdot U_x\subset U$。由于 $\{x_n\}\rightarrow x,\{t_n\}\rightarrow0$，所以存在 $N_1,N_2>0$，使得只要 $n_1\geq N_1,n_2\geq N_2$，就有 $x_{n_1}\in U_x,t_{n_2}\in[-\delta,\delta]$。取 $N=\max\{N_1,N_2\}$，则对 $n>N$，成立

\begin{equation} t_nx_n\in[-\delta,\delta]\cdot U_x\subset U~. \end{equation}
于是 $\{t_nx_n\}$ 收敛于 0。

　　 证毕！

　　 定理 1 的证明：1.必要性： 要证 $\epsilon_n x_n\rightarrow0$，就是要证对任一零邻域 $U$，存在正整数 $N$，使得 $n\geq N$，就有 $\epsilon_n x_n\subset U$。其证明如下：

　　 由数乘的连续性，对任一零邻域 $U$，存在 $\delta>0$ 和零邻域 $V$，使得 $(-\delta,\delta)\cdot V\subset U$；由 $M$ 的有界性，存在 $m>0$，使得只要 $ \left\lvert \lambda \right\rvert \geq m$，就有 $M\subset\lambda V$。因此 $\epsilon_nx_n=\epsilon_n \lambda y_n$，其中 $y_n\in V$。

　　 因为 $\{\epsilon_n\}$ 趋于零，所以存在 $N$，使得只要 $n\geq N$，就有 $ \left\lvert \epsilon_n\lambda \right\rvert <\delta$。从而 $\epsilon_nx_n=\epsilon_n \lambda y_n\in U$ 对 $n\geq N$ 恒成立。

　　 2. 设 $\{x_n\}$ 无界。则存在零邻域 $U$，使得任意 $m>0$，存在 $t\geq m,y\in\{x_n\},x\notin tU$，或 $t^{-1}x\notin U$。选取 $\{m_n\}\rightarrow\infty$，于是存在 $\{t_n\}\rightarrow\infty$，使得 $t_n^{-1}y_n\notin U$ 对所有的 $n$ 成立。下面将证明这是不可能的：

　　 若点列 $\{t_n^{-1}y_n\}$ 包含 $\{x_n\}$ 的"无限"个点，即任意 $N>0$，有 $i>N$，使得 $x_i\in\{y_n\}$。那么对任意 $N>0$，存在 $N_2>0$，使得 $i\geq N_2$，$y_i\in \{x_n|n\geq N\}$：否则，存在 $N>0$，使得对任意 $N_2>0,i\geq N_2$，都有 $y_i\notin\{x_n|n\geq N\}$，于是一切 $y_i$ 只能在 $\{x_1,\cdots,x_N\}$ 中取值而不能取 $N$ 后 $x_i$，这和假设矛盾。因此此时对从某项 $N$ 开始落入任一 $x$ 邻域的 $x_i$ 而言，对充分大的 $N_2$，从该项开始 $y_i$ 落入该邻域，即 $\{y_n\}\rightarrow x$。由引理 1 ，这和 $\{t_n^{-1}y_n\}\rightarrow0$，这和所有的 $n$， $t_n^{-1}y_n\notin U$ 矛盾。

　　 设点 $\{y_n\}$ 只取 $\{x_n\}$ 上的有限个点 $x_1,\cdots,x_M$。那么由引理 1 ，每一序列 $\{t_n^{-1}x_i\},i=1\cdots,M$ 都收敛于 0。即对任意零邻域 $U$，存在 $N_1,\cdots,N_M>0$，只要 $n_i\geq N_i,i=1,\cdots,M$，就有 $t_{n_i}x_{n_i}\in U$。取 $N=\max\{N_i|i=1,\cdots,M\}$，则只要 $n\geq N$，就有 $t_n y_n\in U$，即 $\{t_n y_n\}\rightarrow 0$，这也和所有的 $n$， $t_n^{-1}y_n\notin U$ 矛盾。

　　 因此第 2 点得证。

　　 证毕！

                     

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