反函数定理

                     

贡献者: 叶月2_

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定理 1 

   设 $D\in \mathbb R^n$ 为开集,若映射 $f:D\rightarrow \mathbb R^n$ 具备以下性质:

  1. $f$ 为 $C^p$ 类映射($f^i$ 的 $p$ 阶偏导数连续);
  2. $ \operatorname {det}Df\neq 0$

   则对于 $x_0\in D$,存在点 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 和对应的点 $y_0=f(x_0)$ 的邻域 $V(y_0)$ 使得 $f:U(x_0)\rightarrow U(y_0)$ 是 $C^p$ 类微分同胚。对于任意 $y\in U(y_0)$ 满足:

\begin{equation} D(f^{-1}(y))=(Df(x))^{-1}~. \end{equation}

   该定理可由多元向量值函数的隐函数定理导出。

   证明:

                     

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