贡献者： JierPeter; addis
预备知识 Lebesgue 积分
，子列极限、上极限与下极限
由于非负可测函数的积分定义为 “压平” 后的非负有界可测函数的积分之极限，易得以下性质：
引理 1
如果 $E$ 是零测集，那么 $E$ 上的任意函数都是可测的，且其积分为 $0$。
这里的函数取值可以是广义实数 $\pm\infty$。
由描述 Lebesgue 积分几何意义的定理 4 ，容易推得以下定理：
定理 1 Levi 定理
设 $\{f_k\}$ 是可测集 $E$ 上的一列单调不减的非负可测函数，则有
\begin{equation}
\int_E \left[\lim\limits_{k\to \infty} f_k(x) \right] \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to \infty}\int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
简单来说，Levi 定理就是指单调不减的非负可测函数列具有 “可极限换序” 的性质。
由 Levi 定理可以直接得到以下推论：
推论 1 Lebesgue 基本定理
设 $\{f_k\}^\infty_{k=1}$ 是可测集 $E$ 上的一列非负可测函数，则有
\begin{equation}
\int_E \left[\sum\limits_{k=1}f_k(x) \right] \,\mathrm{d}{x} = \sum\limits_{k=1} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
回忆上极限与下极限的定义 1 ，我们可以把这个定义推广到函数列上去。为了方便阅读，我们在这里简单解释一下上下极限的含义，已熟悉的读者可直接跳过，需要更详细解释的读者请跳转到子列极限、上极限与下极限。
定义 1 数列的上、下极限
给定实数列 $\{a_n\}$。
定义
\begin{equation}
\lim\limits_{n\to\infty} \sup\{a_i\}_{i=n}^\infty = \operatorname {\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty} a_n~
\end{equation}
为 $\{a_n\}$ 的
上极限（upper limit）。
类似地，定义
\begin{equation}
\lim\limits_{n\to\infty} \inf\{a_i\}_{i=n}^\infty = \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty} a_n~
\end{equation}
为 $\{a_n\}$ 的
下极限（lower limit）。
简单来说，数列的上极限就是 “上确界的极限”，下极限就是 “下确界的极限”。当然，由于上确界数列 $\{\sup \{a_i\}_{i=n}^\infty\}$ 是单调不增的，也可以说上极限是 “上确界的下确界”，类似地，下极限就是 “下确界的上确界”。后面这两种解释更适用于子列极限、上极限与下极限中的讨论。
定义 2 函数列的上、下极限
给定一列实函数 $f_k$。定义其上、下极限函数在 $x$ 处的值为数列 $f_k(x)$ 的上、下极限。
有了上下极限的概念，我们才可以描述清楚以下性质：
定理 2 Fatou 引理
设 $f_k$ 是可测集 $E$ 上的一列非负可测函数，则
\begin{equation}
\int_E \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty} f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}\int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
证明：
为方便讨论，定义一个工具函数：
\begin{equation}
g_k(x) = \inf\limits_{i\geq 0}\{f_{k+i}(x)\}~.
\end{equation}
则由定义 2 可知，$ \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to\infty} f_k(x)=\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)$。另外易得，$\{g_k\}$ 是一列 $E$ 上的一列单调不减的非负可测函数。
由确界的性质，可知 $g_k(x)\leq f_k(x)$ 处处成立。因此有
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty} \int_E g_k(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \lim_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
于是由定理 1 ，结合极限的性质可得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_E \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to\infty}f_k(x) \,\mathrm{d}{x} &=
\int_E \lim_{k\to\infty} g_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=\lim_{k\to\infty} \int_E g_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&\leq \lim_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
定理 2 有没有可能更强一些呢？就是说，能不能把式 5 的不等号写成等号呢？答案是否定的，用下面这个简单的例子就可以看出来：
例 1
考虑区间 $[0, 1]$ 上的函数列 $\{f_k\}$，其定义如下：
当 $k$ 为奇数时，
\begin{equation}
f_k(x)= \left\{\begin{aligned}
&1\quad x\in[0, 1/2]\\
&0\quad x\in[1/2, 0]~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
当 $k$ 为偶数时，
\begin{equation}
f_k(x)= \left\{\begin{aligned}
&0\quad x\in[0, 1/2]\\
&1\quad x\in[1/2, 0]~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
则显然 $ \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}f_k(x)=0$ 处处成立，故
\begin{equation}
\int_{[0, 1]} \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}f_k(x) \,\mathrm{d}{x} = 0~,
\end{equation}
但由于各 $\int_{[0, 1]} f_k(x) \,\mathrm{d}{x} $ 都等于 $1/2$，故
\begin{equation}
\operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}\int_{[0, 1]} f_k(x) \,\mathrm{d}{x} = 1/2~.
\end{equation}
比较式 11 和式 12 即可知，式 5 的等号不总是成立。
考虑到 $ \left\lvert \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert = \left\lvert \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert $ 和 $\int_E \left\lvert f(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} + \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $，可得柯西不等式：
\begin{equation}
\left\lvert \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert \leq \int_E \left\lvert f(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
定理 3 积分的绝对连续性
设 $f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积且几乎处处有限，那么对于任意的 $\epsilon>0$，总存在 $\delta>0$ 使得只要 $A\subseteq E$ 的测度 $ \operatorname {m}A<\delta$，就一定有
\begin{equation}
\left\lvert \int_A f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert < \epsilon~.
\end{equation}
证明：
由柯西不等式式 13 ，可知只需要考虑 $f$ 是非负可测函数的情况即可。又由引理 1 ，只需要考虑 $f$ 处处有限的情况即可，即有界。下设 $f$ 是有界的非负可测函数。
设 $f$ 的一个上界为 $s$，那么只需要取 $\delta<\epsilon/s$ 即可得证。
证毕。