Lebesgue 可积的函数

贡献者： JierPeter

预备知识　Lebesgue 积分的一些补充性质

　　定义 6 中已经给出了任意可测集上任意可测函数的 Lebesgue 积分之定义。为方便，我们将此定义再次誊抄如下：

定义 1　Lebesgue 积分

　　设 $f$ 是可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，$f^+$ 和 $f^-$ 分别是其正部与负部。如果 $\int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} $ 和 $\int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $ 中至少有一个是有限的，则可定义其 Lebesgue 积分为：

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

　　由定义直接可得，如果 $f$ 在 $E$ 上可积，那么必有 $\int_E -f(x) \,\mathrm{d}{x} = -\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} $。另外，也易得，$f$ 可测当且仅当 $ \left\lvert f \right\rvert $ 可测；如果 $E$ 测度有限且 $f$ 有界，那么 $f$ 的正部和负部的积分都是有限的，故 $f$ 可积。

　　 Riemann 积分中对定义域进行的分划，也可以当作 Lebesgue 积分中的可测分划，于是可以结合 Riemann 可积的定义（Riemann 上和和 Riemann 下和之差可以任意小），得知 Riemann 可积的函数也 Lebesgue 可积。再注意到，在Lebesgue 积分中的定理 4 ，我们证明了可积函数的 Lebesgue 积分实际上就是其下方图形的测度，而测度又是面积的推广；因此，如果区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 是 Riemann 可积的，那么它也是 Lebesgue 可积的，且两个积分值相等。

　　因此，Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广。那么 Lebesgue 积分是和 Riemann 积分等价呢，还是能处理比 Riemann 可积函数范围更广的函数呢？答案是后者，我们以一个例子来说明：

例 1　Dirichlet 函数

　　 Dirichlet 函数

\begin{equation} D(x)= \left\{\begin{aligned} 1, x\in\mathbb{Q}\\ 0, x\not\in\mathbb{Q} \end{aligned}\right. ~ \end{equation}

是 Lebesgue 可积的，其积分是 $0$（因为有理数集是可数的，从而是零测的），但它不是 Riemann 可积的。

Lebesgue 可积的函数

定义 1 Lebesgue 积分

例 1 Dirichlet 函数

定义 1　Lebesgue 积分

例 1　Dirichlet 函数