拉莫尔进动

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预备知识　磁旋比、玻尔磁子

　　 拉莫尔进动（Larmor precession）是围绕其外部磁场的磁矩所做的进动。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\gamma \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~, \end{equation}

其中 $\gamma$ 为磁旋比，$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 为力矩，$ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 为磁偶极矩，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是角动量矢量。

未完成：经典电磁学版本的拉莫尔进动。使用式 11 和式 2 。

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = - \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $。

　　所以 $$\Omega = -\frac{\mu B}{L} = -\gamma B~.$$ 若电荷为负，$\mu$ 和 $L$ 符号相反，那么拉莫进动就是逆时针。

1. 自旋粒子的拉莫尔进动

　　假定有一个自旋为 $1/2$ 的粒子静止处于均匀磁场：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =B_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~ \end{equation}

静止在磁场中的带点自旋粒子的哈密顿为：

\begin{equation} H = -\gamma \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot S~. \end{equation}

由此可得：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} = -\gamma B_0S_z=-\frac{\gamma B_0\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} ~. \end{equation}

注意到 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 有着和 $S_z$ 相同的本征矢：

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\chi_+ = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} ~,\quad E_+=-(\gamma B_0\hbar)/2\\ &\chi_- = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} ~,\quad E_-=+(\gamma B_0\hbar)/2~, \end{aligned}\right. \end{equation}

显然和经典情况一致，在偶极矩平行于磁场时能量时最低的。

　　由于哈密顿量和时间无关，因此含时薛定谔方程为：

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \chi}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{H}} \chi~. \end{equation}

它的一般解可以被表示为定态的线性组合：

\begin{equation} \chi(t)=a\chi_+ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_+t/\hbar}+b\chi_- \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_-t/\hbar}= \begin{pmatrix}a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\b \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} ~, \end{equation}

其中的常数 $a,b$ 是由初始条件所确定的：

\begin{equation} \chi(0)= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} ~. \end{equation}

注意到这里 $|a|^2+|b|^2=1$，为不失一般性，我们将：

\begin{equation} a= \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) ~,\qquad b= \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ~, \end{equation}

其中的 $\alpha$ 代表着一个固定的角度。这样结合式 7 和式 9 可得：

\begin{equation} \chi(t)= \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} ~. \end{equation}

为了让我们对这一态有直观的认知，我们来计算 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的期待值和时间的关系：

\begin{equation} \begin{aligned} \langle S_x\rangle &= \chi(t)^\dagger \boldsymbol{\mathbf{S}} _x \chi(t)\\ &=\left( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2} \ \ \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\right)\times\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} ~, \end{aligned} \end{equation}

化简可得：

\begin{equation} \langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2} \sin\left(\alpha\right) \cos\left(\gamma B_0t\right) ~. \end{equation}

类似的我们还有：

\begin{equation} \langle S_y\rangle = -\frac{\hbar}{2} \sin\left(\alpha\right) \sin\left(\gamma B_0t\right) ~,\qquad \langle S_z\rangle = \frac{\hbar}{2} \cos\left(\alpha\right) ~. \end{equation}

显然 $\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 在 $z$ 轴之间的夹角 $\alpha$ 是不变的。并且和经典情况一样 $\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 绕着磁场的方向以拉莫尔频率 $\omega$ 进动

\begin{equation} \omega= -\gamma B_0~. \end{equation}

这和经典模型中的结论一样。

　　如下图所示：

图 1：$\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 在均匀磁场中做进动