贡献者： addis
1. 不含时，有限维的情况
我们可以证明对任意厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{U}} (t) = \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) $ 都是酉矩阵，称为传播子（propagator）。要证明一个矩阵是酉矩阵，只需要证明
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} ~.
\end{equation}
由 $ \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) $ 的级数定义以及厄米算符的性质可得 $ \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) ^\dagger = \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) $，所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{U}} (t) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{U}} (t) = \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) = \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{0}} \right) = \boldsymbol{\mathbf{I}} ~,
\end{equation}
注意只有 $[ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} ] = 0$ 时才有
\begin{equation}
\exp\left( \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) = \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) ~.
\end{equation}
2. 不含时，无穷维的情况
算符和有限维矩阵的性质往往有相同之处，然而当拓展到无穷维的情况时往往就需要高级得多的数学（泛函分析），我们暂不详细介绍这些数学，而是直接通过类比给出结论。
将 “一阶线性常微分方程组” 中式 1 拓展成偏微分方程1，令 $A$ 为算符。
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{t}} f(x, y, \dots, t) = A f(x, y, \dots, t)~.
\end{equation}
那么当 $A$ 不含 $t$ 时，有
\begin{equation}
f(x, y, \dots, t) = \exp\left(A t\right) f(x, y, \dots, 0)~.
\end{equation}
若 $A$ 含有 $t$，形式解
式 9 变为
\begin{equation}
f(x, y, \dots, t) = \hat{\mathcal T} \exp \left[\int_0^ t A(t') \,\mathrm{d}{t} ' \right] f(x, y, \dots, 0)~.
\end{equation}
3. 含时薛定谔方程的解
我们把哈密顿算符 $H$ 看作是无穷维矩阵，薛定谔方程可记为与一阶线性常微分方程组（式 1 ）相同的形式
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left\lvert \psi(t) \right\rangle = - \mathrm{i} H \left\lvert \psi(t) \right\rangle ~.
\end{equation}
当哈密顿算符 $H$ 不含时，解为（根据
式 2 ）
\begin{equation}
\left\lvert \psi(t) \right\rangle = \exp\left(- \mathrm{i} H t\right) \left\lvert \psi(0) \right\rangle ~,
\end{equation}
当哈密顿算符含时，形式上可以把解记为
\begin{equation}
\left\lvert \psi(t) \right\rangle = \hat{\mathcal T} \exp\left(\int_0^ t H(t') \,\mathrm{d}{t} '\right) \left\lvert \psi(0) \right\rangle ~.
\end{equation}
我们把以上的 $\exp$ 就是波函数的传播子，其定义依然是使用指数函数的级数展开。
1. ^ 形象理解：将矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 看作有无穷多个元，且取值连续，就成了 $f(x, t)$