贡献者： JierPeter
本文中 $c=1$，闵可夫斯基空间度规为 $g_{\mu\nu} \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$。
本文的目的是简单介绍描述场与粒子相互作用的拉格朗日方法之思路，启发自 Suskkind 的Special Relativity and Classical Field Theory [1]。特别要强调，我们并不是把粒子和场分开讨论，得到两种作用量或者拉格朗日函数；我们研究的是粒子和场构成的整体，只有对这个整体的一个作用量。
1. 场对粒子的作用
粒子的运动轨迹由拉格朗日函数决定，因此要体现场对粒子的作用，就需要在粒子的拉格朗日函数里有场的出现。
自由粒子的拉格朗日函数为 $L(t, x^\mu, \dot{x}^\mu ) = -m\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}$。如何添加一个 “相互作用” 的项呢？注意到和粒子有关的部分是 $\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}$，我们带着这部分，简单地把标量场 $\phi$ 加进去试试：
\begin{equation}
\mathcal{L}(t, x^\mu, \dot{x}^\mu ) = -(m+g\phi)\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}~.
\end{equation}
其中 $g$ 是一个常数，常称为
耦合常数（coupling constant），用来表征场对粒子的作用强度。
把式 1 代入粒子的欧拉-拉格朗日方程，得到粒子的运动方程
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \left[- \left(m+g\phi \right) \frac{-\dot{x}^\rho}{\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}} \right] = -g\frac{\partial \phi}{\partial x^\rho}\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}~.
\end{equation}
低速、弱场近似
如果取非相对论和弱场极限，即 $\dot{x}^\rho\ll c$ 且 $g\phi$ 和 $\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}$ 相当，那么式 1 化为
\begin{equation}
\mathcal{L}(t, x^\mu, \dot{x}^\mu ) = -m-g\phi+\frac{1}{2}mv^2~.
\end{equation}
其中 $v^2=\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}$。
于是式 2 化为、或者说式 3 的欧拉-拉格朗日方程为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } m\dot{x}^\rho = -g\frac{ \,\mathrm{d}{\phi} }{ \,\mathrm{d}{x} ^k}~,
\end{equation}
这正是粒子在标量势下的运动方程。
如果 $\phi$ 是引力势场，$g=m$ 是物体的质量，那式 4 描述的就是低速、弱场近似下（牛顿理论）粒子在引力场中的运动，故可以说物体的质量是引力场的耦合常数。
当然，也可以把 $\phi$ 解释为电势，$g$ 解释为电荷，于是式 4 描述的是低速、弱场近似下带电粒子在电场中的运动。
2. 粒子对场的作用
由于我们是把粒子和场作为一个整体，不可割裂，因此粒子拉格朗日函数中的相互作用项也应该是场的相互作用项。
以上一小节讨论的式 1 为例，我们希望 $-g\phi\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}$ 也是影响场演化的相互作用项。问题是，粒子的作用量是对时间的积分：
\begin{equation}
\mathcal{S}_{\text{粒子相互作用项}} = \int -g\phi\sqrt{1-\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu g_{\mu\nu}} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
因为粒子有给定轨迹。但场的作用量是对一片时空区域积分，怎么办呢？
低速、弱场近似
首先要再次把问题简化成低速、弱场的情况，这样粒子的拉格朗日函数相互作用项就是
\begin{equation}
\mathcal{L}_{\text{粒子相互作用项}} = -g\phi~.
\end{equation}
只需要添加狄拉克函数，就可以把粒子的作用量从对时间的积分改写为对时空区域的积分：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{S}_{\text{粒子相互作用项}} &= \int -g\phi \,\mathrm{d}{t} \\
&= \int -g\delta^3(x^1(t), x^2(t), x^3(t))\phi \,\mathrm{d}{x} ^4
\end{aligned} ~.
\end{equation}
其中 $\delta^3$ 是三维狄拉克函数，在任意参考系中，取任意时间断面，它的中心点就在粒子的轨迹上。
场的拉格朗日函数自由项取例 1 中的 $\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi g^{\mu\nu}$（加了个系数 $1/2$，下面会看到用处何在）。加上相互作用项，凑出场的拉格朗日函数：
\begin{equation}
\mathcal{L}_{\text{场}} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi g^{\mu\nu} - g\delta^3(x^1(t), x^2(t), x^3(t))\phi~.
\end{equation}
现在代入场的欧拉-拉格朗日方程式 8 看看：
\begin{equation}
(\partial_\mu\partial_\nu)\phi g^{\mu\nu} = -g\delta^3(x^1(t), x^2(t), x^3(t))~.
\end{equation}
或者写成更明显的形式：
\begin{equation}
(\partial_0^2-\partial_1^2-\partial_2^2-\partial_3^2)\phi = -g\delta^3(x^1(t), x^2(t), x^3(t))~.
\end{equation}
考虑一个极为简单的特殊情况：粒子和场都保持静止，不随时间变化，此时有 $\partial_0^2\phi = 0$。假设粒子总待在点 $(x, y, z)$，即 $\delta^3(x^1(t), x^2(t), x^3(t))=\delta^3(x, y, z)$。
于是式 10 变成
\begin{equation}
(\partial_1^2+\partial_2^2+\partial_3^2)\phi = g\delta^3(x, y, z)~.
\end{equation}
这正是泊松方程。也就是说，这里的场 $\phi$ 可以解释为电势，$(x, y, z)$ 是带电粒子的位置，耦合常数 $g$ 则是电荷。
[1] ^ Leonard Susskind, Art Friedman. Special Relativity and Classical Field Theory, Basic Books; 1st Edition (September 26, 2017). ISBN-13: 978-0465093342; ISBN-10: 0465093345.