Noether 定理
贡献者： 零穹
[1] Nother 定理是关于对称性和守恒量的，它于 1915 年由 Noether 证明，其表明每一个使拉氏量不变的变换都对应一个守恒量。正如理论物理中最深刻的定理一样，Noether 定理的证明极其的简单。
1. Noether 定理
定理 1 Noether 定理
设 $L(q(t),\dot q(t))$ ($\dot{}:= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} $) 是拉氏量，其中 $q=(q_1,\ldots,q_n),\dot q=(\dot q_1,\ldots,\dot q_n)$。则对每一个使得拉氏量 $L(q(t),\dot q(t))$ 不变的变换，都有一个守恒量存在。即若无穷小变换
\begin{equation}
q(t)\rightarrow q(t)+\delta q(t),~
\end{equation}
使得 $L$ 不变，这是指 $\delta L=0$，那么存在守恒量 $Q:=\frac{\delta L}{\delta\dot q}\delta q$，即 $\dot Q=0$。
证明：
在无穷小变换 $q\rightarrow q+\delta q$ 下，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} \rightarrow \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} (q+\delta q)&= \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\mathrm{d}{\delta q}}{\mathrm{d}{t}} \\
&\Downarrow\\
\delta \left( \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} \right) &= \frac{\mathrm{d}{\delta q}}{\mathrm{d}{t}}
\end{aligned}.~
\end{equation}
即 $\delta \dot q=\dot{\delta q}$
因此，
\begin{equation}
\begin{aligned}
0=&\delta L=\frac{\delta L}{\delta \dot q}\dot{\delta q}+\frac{\delta L}{\delta q}\delta q\\
&\overset{\text{Euler-Lagrange 方程}}{=}\frac{\delta L}{\delta \dot q}\dot{\delta q}+ \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{\delta L}{\delta\dot q} \right) \delta q\\
=& \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{\delta L}{\delta\dot q}\delta q \right) \\
:=&\dot Q
\end{aligned}.~
\end{equation}
证毕！
注意：在无穷小变换下拉氏量不变被理解成一阶 $\delta L=0$ 即可，是因为一阶变分 $\delta L$，例如 $\delta L^2$ 在无穷小时的和即变成积分，刚好就是和的极限值，此时积分值是精确的。这相当于高阶无穷小不起作用。
[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell