狄拉克 delta 导函数
贡献者： addis
定义（函数列）：对任意在 $x=0$ 处可导的 $f(x)$ 都有
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta'_n(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} = -f'(0)~.
\end{equation}
等效定义：
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty x\delta'_n(x) \,\mathrm{d}{x} = -1~.
\end{equation}
且在不包含 $x=0$ 的任意区间 $(a,b)$，有
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_a^b x\delta'_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0~.
\end{equation}
若用分部积分，可以证明 $\delta_n(x)$ 就是狄拉克 $\delta$ 函数。
1. 构造
分部积分：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta'_n(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \lim_{n\to\infty} \left. \delta_n(x) f(x) \right\rvert _{-\infty}^\infty - \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x) f'(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= - f'(0)~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以狄拉克 delta 导函数就是任意 delta 函数列的负导数。
2. 性质
可以拓展到
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta'_n(x-x_0) f(x) \,\mathrm{d}{x} = -f'(x_0)~.
\end{equation}
性质：$\delta'(-x) = -\delta'(x)$（但每个具体的 $\delta'_n$ 未必是奇函数）
例 1
例 1
\begin{equation}
\delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\delta'_n(x) = \frac{n}{\pi x} [ \cos\left(nx\right) - \operatorname{sinc} (nx)]~.
\end{equation}