贡献者： 零穹
在定积分的定义（定义 4 ），说 “$a$ 到 $b$ 的区间上的定积分” 时，总是理解成 $a< b$。现在我们先去除这一限制，即对定积分的定义中 $a,b$ 的大小关系不施加任何限制，进而讨论定积分的性质。为此，先介绍定向区间的概念。
定义 1 定向区间
满足不等式
\begin{equation}
a\leq x\leq b\quad or\quad a\geq x\geq b~
\end{equation}
的顺序从 $a$ 到 $b$ 的 $x$ 的集合称为从 $a$ 到 $b$ 的
定向区间，记作 $[a,b]$。即 $a< b$ 则是递增顺序，$a>b$ 就是递减顺序，$a=b$ 就是不增不减。
对 $a>b$ 时的定向区间 $[a,b]$ 上的积分的定义，可以用完全类似的方法定义，只需从 $a$ 到 $b$ 的方向插入分点：
\begin{equation}
x_0=a>x_1>\cdots>x_n=n~,
\end{equation}
于是，若积分和
\begin{equation}
\sigma=\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i,\quad\Delta x_i=x_{i+1}-x_i<0~.
\end{equation}
在 $\lambda=\max \left\{\Delta x_i|i=0,\cdots n-1 \right\} $ 趋于 0 时的极限（
定义 1 ）存在，则该极限就是 $f(x0$ 在定向区间 $[a,b]$ 上的定积分，并记作
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =\lim_{\lambda\rightarrow0}\sigma~.
\end{equation}
1. 定积分的性质
定理 1
若 $f(x)$ 在区间 $[b,a]$ 上可积，则它们在 $[a,b]$ 也可积，并且
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =-\int_b^a f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
证明：
只需对 $[a,b],[b,a]$ 取同样的分点和 $\xi_i$，则它们的积分和仅仅差一负号，因此其极限也只差一负号。
证毕！
定理 2
$\int_a^a f(x) \,\mathrm{d}{x} =0$
证明：
此时 $[a,a]$ 上所有的分点和 $\xi_i$ 都是 $a$，而 $\Delta x_i=0$ 且 $f(a)$ 有限，所以积分和每一项都是 0。
证毕！
当然，如果定向区间 $[a,b]$ 的定义不允许 $a=b$，那么可以把 $\int_a^a f(x) \,\mathrm{d}{x} $ 定义为 $\lim\limits_{b\rightarrow a}\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} $，此时也有定理 2 的性质。所以两种定义带来的结果都是等价的，如何理解都可。
为方便下面的证明，使用的符号 $\sum\limits_{c}^d f(\xi)\Delta x$ 代表 $\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\Delta x_i$ 其中 $x_0=c,x_{n-1}=d$，可以理解成矢量 $f(\xi)=(f(\xi_0),\cdots,f(\xi_{n-1}))$ 和 $\Delta x=(\Delta x_0,\cdots,\Delta x_{n-1})$ 的内积，其中 $x_0=c,x_{n-1}=d.$
定理 3
设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，那么对任意的 $c,d,e\in[a,b]$，成立
\begin{equation}
\int_c^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_c^e f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
证明：
由定理 1 ，只需对 $c< d$ 的情形证明即可。由定理 6 ，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的每一部分区间都可积。
设 $e\in [c,d]$，并令 $e$ 是分点之一，于是
\begin{equation}
\sum_{c}^d f(\xi)\Delta x=\sum_c^e f(\xi)\Delta x+\sum_e^d f(\xi)\Delta x~.
\end{equation}
两边取极限就得所需证的等式。
设 $e\notin[c,d]$，不失一般性，令 $e\leq c$，于是由上一情形
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_e^c f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_c^d f(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&\Downarrow\\
&\int_c^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =-\int_e^c f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_c^e f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕！
定理 4
设 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，则
- $\int_a^b kf(x) \,\mathrm{d}{x} =k\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} $，($k$ 是常数);
- $\int_a^b[f(x)\pm g(x)] \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \pm\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} $.
证明：
利用积分和出发证明即可：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\sum_{a}^bkf(\xi)\Delta x=k\sum_{a}^bf(\xi)\Delta x;\\
&\sum_a^b \left[f(\xi)\pm g(\xi) \right] \Delta x=\sum_a^bf(\xi)\Delta x\pm \sum_a^bg(\xi)\Delta x~.
\end{aligned}
\end{equation}
上面两边取极限便得所需证的等式。
证毕！
定理 5
如果在 $[a,b]$ 上可积函数 $f(x)$ 是非负的，并且 $a< b$，则
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq0~,
\end{equation}
此时，若可积函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是正的，则
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} >0~.
\end{equation}
证明：
写出达布下和
\begin{equation}
s=\sum_{a}^bm\Delta x~.
\end{equation}
由于 $f(\xi),\Delta x\geq0$，所以和的每一项都非负，由定积分存在条件和
式 9 ，
\begin{equation}
0\leq s\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
对于
式 11 的证明，完全一样，由于在某一区间分划下，达布下和大于 0，可以该分划的分点为基础获得新的 $\lambda\rightarrow0$ 的分划，由达布下和的性质
定理 1 和
式 9
$0< s\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} .$
证毕！
由该定理容易得到下面推论
推论 1
如果 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并且 $f(x)\leq g(x),a< b$ (或 $f(x)< g(x)$ )，则
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad (or \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} <\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} )~.
\end{equation}
定理 6
设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的可积函数，且 $a< b$，则
\begin{equation}
\left\lvert \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert \leq\int_a^b \left\lvert f(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
证明：
由数的绝对值满足的三角不等式 $ \left\lvert a_1+a_2 \right\rvert \leq \left\lvert a_1 \right\rvert + \left\lvert a_2 \right\rvert $，容易通过数学归纳法证得
\begin{equation}
\left\lvert \sum_i a_i \right\rvert \leq\sum_i \left\lvert a_i \right\rvert ~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\left\lvert \sum_a^b f(x)\Delta x \right\rvert \leq\sum_a^b \left\lvert f(x) \right\rvert \Delta x~.
\end{equation}
右边的式子的可积性由
定理 4 得到。两边取极限便得到
式 15 。
证毕！
定理 7
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，其中 $a< b$，并且在该区间上恒有
\begin{equation}
m< f(x)< M~,
\end{equation}
则
\begin{equation}
m(b-a)\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq M(b-a)~.
\end{equation}
证明：
由下面明显的不等式
\begin{equation}
m(b-a)=m\sum_a^b\Delta x\leq\sum_a^b f(\xi)\Delta x\leq M\sum_a^b\Delta x=M(b-a)~.
\end{equation}
取极限即得。
证毕！