氢原子隧道电离

贡献者： addis

预备知识　薛定谔方程，隧道效应

　　¹本文使用原子单位制。在 $E \ll 1$ 的恒定电场下，氢原子的电离率（单位时间的概率）为

\begin{equation} \omega = \frac{4}{ \left\lvert E \right\rvert } \exp\left[-\frac{2}{3 \left\lvert E \right\rvert }\right] ~. \end{equation}

　　注意若给氢原子的哈密顿算符添加恒定电场项 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $，那么该系统将不存在严格的束缚态。因为当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 夹角大于 $90^\circ$ 且当 $r\to\infty$ 时 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \to -\infty$（图 1 ）。所以隧道电离不存在严格的阈值（threshold），理论上任何强度的恒定电场都会产生隧道电离。

图 1：隧道电离示意图

　　假设氢原子开始时处于某束缚态且无外电场，能量为 $E_n$，经过一段时间后外电场出现（图中向左），这时在原子核的右边就可能会出现一个势垒，局部势能大于 $E_n$，但随着 $r$ 增大势能最终小于 $E_n$。这时根据隧道效应，波函数会以一定的速率穿过该势垒，单位时间穿过势垒的波函数的概率就叫做电离率（ionization rate）。电场越弱，势垒越高越宽，电离率就越小。

图 2：氢原子隧道电离的数值模拟（见“球坐标系中的定态薛定谔方程”）

　　图 2 中画出了氢原子隧道电离的数值模拟结果，电场方向向上，强度为 0.1 au，图中的数值代表波函数模长的平方，也就是电子在空间中出现的概率（colorbar 使用 log10）。

　　相反，若电场太强，使得右边的势能突起比 $E_n$ 要小，那么同样不存在隧道效应，而是直接电离。这种电离十分迅速。

　　另见 ADK 电离率，Keldish 模型（未完成）。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。