映射空间
贡献者： JierPeter; addis
1. 紧开拓扑
给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，$Y^X$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合。我们在此连续映射集合上定义一个拓扑。
定义 1 紧开拓扑
给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，在 $X$ 中取一个紧子集 $K$，在 $Y$ 中取一个开集 $U$，那么所有使得 $K$ 的像包含在 $U$ 中的连续映射构成的集合 $\{f\in X^Y|f(K)\subseteq U\}$，定义为 $X^Y$ 中的一个开集。由于这个开集是由紧子集 $K$ 和开集 $U$ 决定的，我们可以记为 $M_{K, U}$。全体 $M_{K, U}$ 构成的集合，作为子基生成一个拓扑 $\mathcal{T}$1，那么 $\mathcal{T}$ 称为一个紧开拓扑。$(X^Y, \mathcal{T})$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的（连续）映射空间。
紧开拓扑的定义初看并不直观，实际上它和度量空间有紧密的联系。在特定条件下，紧开拓扑和度量拓扑是等价的，因此紧开拓扑可以看成度量拓扑更一般的形式。
定理 1 紧开拓扑与度量拓扑的等价性
设拓扑空间 $X$ 为紧空间，$Y$ 为度量空间，其距离函数记为 $ \operatorname {d}$，在 $Y^X$ 上定义度量 $ \operatorname {\rho}$ 如下：对于 $f, g\in Y^X$，令 $ \operatorname {\rho}(f, g)$ 等于集合 $\{ \operatorname {d}(f(x), g(x))\}_{x\in X}$ 中的上确界。则这个度量导出的拓扑，等价于紧开拓扑。
一般来说，当我们提到映射空间时，总是指连续映射构成的集合，配上紧开拓扑所构成的拓扑空间。
2. 映射空间的性质
定理 2 映射空间的重要性质
- 若 $X$ 是局部紧空间，令映射 $e:Y^X\times X\rightarrow Y$ 满足 $\forall f\in Y^X, x\in X$，有 $e(f, x)=f(x)$。则 $e$ 是一个连续映射。
- 若 $f:X\times Z\rightarrow Y$ 是连续映射，那么令 $\tilde{f}:Z\rightarrow Y^X$ 满足 $\tilde{f}(z)(x)=f(x, z)$2，那么 $\tilde{f}$ 也是连续映射。如果 $X$ 还是一个局部紧空间，那么可以反过来说，如果 $\tilde{f}$ 是连续映射，那么 $f$ 是连续映射。
- 如果 $Z$ 是 Hausdorff 空间，那么 $E:Y^{X\times Z}\rightarrow(Y^X)^Z$ 就是连续映射，其中 $E(f)=\tilde{f}$。如果 $X$ 也是 Hausdorff 的，那么 $E$ 是一个同胚映射。
以上三条定理没有简略的严格证明，在此从略；感兴趣的读者请参考拓扑学相关教材。这三条定理的性质是代数拓扑的基础。
1. ^ 注意，这里是子基，而非拓扑基。
2. ^ 注意，这里的 $\tilde{f}(z)$ 是 $Y^X$ 的一个元素，也就是 $X\rightarrow Y$ 的一个映射。