菲涅尔半波带法

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　振动的指数形式

　　 菲涅尔半波带法是一种处理连续分布的波源时，简化的计算方法。

1. 波的干涉

　　 设介质或空间中存在一个波源，如果要研究此波源在整个空间中产生的波是怎样随时间变化的，只需要任取空间中的一个点 $P$，研究清楚 $P$ 上的波函数如何变化，则由 $P$ 的任意性，相当于已经得到了整个空间中波的分布。

　　 产生波的点，我们称之为源点；被选中用于研究的点，我们称之为场点。

　　 当空间中只有一个源点时，场点的波可以理解为源点的波弱化并时间延迟后的结果。设源点为 $S$，场点 $P$ 到 $S$ 的距离为 $L$，波速为 $c$，则在时间 $t_0$ 时 $P$ 点处的波函数，就是时间 $t_0-L/c$ 时 $S$ 点处的波函数乘以一个系数，此系数正比于 $1/L^{n/2}$，其中 $n$ 是波的维度1减一。此系数表达的是能量守恒，波随着传递而减弱2。

　　 比如说，若源点的振动为 $A\cos \omega (t+\varphi_0)$，那么场点的振动则为 $\frac{AC}{L^n/2}\cos \omega(t+\varphi_0-L/c)$。当然，表示

　　 当空间中有多个源点时，任意时刻场点的波即为所有源点在场点单独产生的波函数相加。为了表达干涉，最好用复数来表示简谐振动，即将源点 $S_i$ 的振动 $A_i\cos\omega_i(t-\varphi_i)$ 写为 $A_i\exp \left( \mathrm{i} \omega_i(t-\varphi_i) \right) $。此时 $S_i$ 在场点 $P$ 产生的振动为 $\frac{A_iC}{L_i^{n/2}}\exp \left( \mathrm{i} \omega_i(t-\varphi_i) \right) \frac{A_iC}{L_i^{n/2}}\exp \left( \mathrm{i} \omega_i(t-\varphi_i) \right) $，而所有源点在 $P$ 产生的合振动即为

\begin{equation} \sum_i \frac{A_iC}{L_i^{n/2}}\exp \left( \mathrm{i} \omega_i(t-\varphi_i) \right) ~. \end{equation}

　　 这个式子本身看起来并不直观，我们可以用复数的几何表示来直观理解计算过程：每一项 $\frac{A_iC}{L_i^{n/2}}\exp \left( \mathrm{i} \omega_i(t-\varphi_i) \right) $ 都表示一个箭头，$\frac{A_iC}{L_i^{n/2}}$ 是其长度，$\omega_i(t-\varphi_i)$ 是其角度；每个箭头都随着时间逐渐旋转，角速度为 $\omega_i$；最终的振动便是所有箭头相加的结果，随着时间变化。

例 1　一个合振动的计算实例

图
图 1：三个波源干涉的计算例子

　　 如图图 1 ，空间中存在三个源点 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$。某一时刻，三个源点在场点 $P$ 处分别独立产生的振动为 $A_1 \exp\left(\theta_1\right) $、$A_2 \exp\left(\theta_2\right) $ 和 $A_3 \exp\left(\theta_3\right) $，振幅分别为 $A_1$、$A_2$ 和 $A_3$，那么点 $P$ 处此刻的实际波函数为

\begin{equation} \operatorname {Re} \left(A_1 \exp\left(\theta_1\right) +A_2 \exp\left(\theta_2\right) +A_3 \exp\left(\theta_3\right) \right) ~. \end{equation}

　　 现实中，波源并不是理想的一个点，而是占据了一定区域，包含无穷多个源点。此时干涉的计算就从求和改为积分：

\begin{equation} \int_D \frac{1}{L(s)^{n-1}}A(s)\exp \left( \mathrm{i} \omega \left(t+\varphi(s)-\frac{L(s)}{c} \right) \right) \,\mathrm{d}{V} ~, \end{equation}
其中 $s$ 是各源点，$A(s)\exp \left( \mathrm{i} \omega \left(t+\varphi(s) \right) \right) $ 是源点 $s$ 的振动函数，$L(s)$ 是源点 $s$ 到场点 $P$ 的距离，$c$ 是波速；$D$ 是源点所在的区域，当然总是可以令 $D$ 为整个空间；$n$ 是波的空间维度，$ \,\mathrm{d}{V} $ 是 $s$ 附近一小块空间的 $n$ 维体积；整个积分的结果就正比于场点 $P$ 处的实际振动。

2. 菲涅尔半波带法

　　 直接积分式 3 通常很麻烦，哪怕只是简单的计算。菲涅尔半波带法将积分简化为有限源点的求和，大大减少了计算量，并且在很多情况下都能提供足够精确的结果。我们从一个实例来切入，理解半波带法的计算方式。

例 2　单缝远场衍射

　　 考虑平行平面波经过一个单缝的衍射过程。当波源很远的时候，场点处的波呈现出平行的特点，如地球表面的太阳光可以认为是平行的，因此平行平面波的衍射过程又称为 “远场衍射”。

　　 设单缝的宽度为 $2d$。

1. ^ 波的维度为描述波函数所需要的空间维度；这也正是介质的维度。
2. ^ 比如二维波，如水波。波源的振动在时间 $t$ 后传播到整个半径为 $ct$ 的圆上，振动能量均匀分布到这个圆上，因此圆上的能量密度正比于 $1/ct$。由于振动所含的能量正比于振幅的平方，因此圆上振幅正比于 $1/ \left(ct \right) ^{1/2}$。

                     

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