高维球谐函数

贡献者：零穹

预备知识　球谐函数，高维弯曲空间中的拉普拉斯算符，高维空间球坐标及其度规

　　在三维的情形，球谐函数是在球坐标下，求解拉普拉斯方程时，通过分离变量得到的。其是拉普拉斯方程角度部分的解。即下面的微分方程

\begin{matrix} (1) & \nabla_{Ω}^{2} Y + λ Y = 0. \end{matrix}

其中

Ω

代表只含角

(θ, ϕ)

的部分，

λ

是常数，且

\begin{matrix} (2) & \nabla_{Ω}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} + \cot θ \frac{\partial}{\partial θ} + \frac{1}{\sin^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial φ^{2}} . \end{matrix}

本词条将仿照三维情形推导球谐函数的方法，推导高维弯曲空间中的球谐函数。

1. 球坐标系下的高维拉普拉斯方程

　　对一般高维空间的拉普拉斯方程，可由对应空间的拉普拉斯算符获得，即从 $Δ u = 0$ 一般高维空间的拉普拉斯方程如下：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{| g |}} \frac{\partial}{\partial x^{i}} (\sqrt{| g |} g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}}) \\ = & \frac{1}{\sqrt{| g |}} (\frac{\partial}{\partial x^{i}} \sqrt{| g |}) g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} + (\frac{\partial}{\partial x^{i}} g^{i j}) \frac{\partial u}{\partial x^{j}} + g^{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{i} \partial x^{j}} \\ = & 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　而

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{| g |}} \frac{\partial}{\partial x^{i}} \sqrt{| g |} = \frac{1}{2 g} \frac{\partial g}{\partial g_{j k}} \frac{\partial g_{j k}}{\partial x^{i}} \\ = \frac{1}{2 g} (g g^{j k}) \frac{\partial g_{j k}}{\partial x^{i}} \\ = \frac{1}{2} g^{j k} \frac{\partial g_{j k}}{\partial x^{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

N + 1

维空间球坐标系

x^{i} = θ^{i}, i = 1, \dots, N, x^{N + 1} = r

下的度规为

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} g_{i j} & = diag (η_{i}), \\ η_{i} & = {\begin{aligned} r^{2} \prod_{k = i + 1}^{N} \sin^{2} θ^{k}, i \leq N, \\ 1, i = N + 1. \end{aligned} \end{aligned} \end{matrix}

由此，

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} g^{i j} & = diag (h^{i}), \\ h^{i} & = {\begin{aligned} r^{- 2} \prod_{k = i + 1}^{N} \sin^{- 2} θ^{k}, i \leq N, \\ 1, i = N + 1. \end{aligned} \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \frac{1}{2} g^{j k} \frac{\partial g_{j k}}{\partial x^{N + 1}} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N + 1} h^{j} \frac{\partial η_{j}}{\partial x^{i}} \\ = & \frac{1}{2} (\sum_{j = 1}^{N} r^{- 2} \prod_{k = j + 1}^{N} \sin^{- 2} θ^{k} 2 r \prod_{k = j + 1}^{N} \sin^{2} θ^{k}) \\ = & N r^{- 1} \\ \frac{1}{2} g^{j k} \frac{\partial g_{j k}}{\partial x^{i}} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N + 1} h^{j} \frac{\partial η_{j}}{\partial x^{i}} \\ = & \frac{1}{2} (\sum_{j = 1}^{i - 1} r^{- 2} \prod_{k = j + 1}^{N} \sin^{- 2} θ^{k} 2 r^{2} \sin θ^{i} \cos θ^{i} \prod_{k = j + 1, k \neq i}^{N} \sin^{2} θ^{k}) \\ = & (i - 1) \cot θ^{i}, i \leq N . \end{aligned} \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{| g |}} (\frac{\partial}{\partial x^{i}} \sqrt{| g |}) g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \\ = & N r^{- 1} \frac{\partial u}{\partial r} + \sum_{i = 1}^{N} h^{i} (i - 1) \cot θ^{i} \frac{\partial u}{\partial θ^{i}} \end{aligned} \end{matrix}

而由式 6 ，

\frac{\partial g^{i j}}{\partial θ^{i}} = 0

。且

\begin{matrix} (9) & g^{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{i} \partial x^{j}} = \sum_{i = 1}^{N} h^{i} \frac{\partial^{2} u}{\partial {θ^{i}}^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \end{matrix}

所以最后式 3 变成

\begin{matrix} (10) & \begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{N} h^{i} [(i - 1) \cot θ^{i} \frac{\partial u}{\partial θ^{i}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial {θ^{i}}^{2}}] + r^{- N} \frac{\partial}{\partial r} (r^{N} \frac{\partial u}{\partial r}) = 0. \end{array} \end{matrix}

若定义

\begin{matrix} (11) & h_{(N)}^{i} := r^{2} h^{i}, \end{matrix}

则

h_{(N)}^{i}

将仅仅依赖于角部变量。类似球坐标下三维拉普拉斯方程的写法，我们有

\begin{matrix} (12) & r^{- 2} \nabla_{S^{N}}^{2} u + r^{- N} \frac{\partial}{\partial r} (r^{N} \frac{\partial u}{\partial r}) = 0. \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (13) & \nabla_{S^{N}}^{2} u := \sum_{i = 1}^{N} h_{(N)}^{i} [(i - 1) \cot θ^{i} \frac{\partial u}{\partial θ^{i}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial {θ^{i}}^{2}}] \end{matrix}

定义了单位

N

球上的 Laplace-Beltrami 算子。

2. 高维球谐函数

　　式 12 没有出现混合导数，因此，若将 $u$ 写成变量分离的形式

\begin{matrix} (14) & u (r, θ^{1}, \dots, θ^{N}) = R (r) W_{N} (θ^{1}, \dots, θ^{N}), \end{matrix}

式 12 就可写为

\begin{matrix} (15) & \frac{1}{R} r^{- N + 2} \frac{\partial}{\partial r} (r^{N} \frac{\partial u}{\partial r} R) = - \frac{1}{W_{N}} Δ_{S^{N}} W_{N} = λ_{N} . \end{matrix}

其中

λ_{N}

是分离常数，

Δ_{S^{N}} := \nabla_{S^{N}}^{2}

。

　　将式 15 中只含角度变量的部分提取出来，就得到如下角变量部分满足的方程：

\begin{matrix} (16) & Δ_{S^{N}} W_{N} + λ_{N} W_{N} = 0. \end{matrix}

该方程的解

W_{N}

便是所谓的

N

维球谐函数（因为它是定义在

N + 1

维空间的

N

维球上的）。

3. 将球谐函数转化为分离变量的形式

　　三维空间的球谐函数可以继续分离为只关于 $θ$ 和 $φ$ 的乘积形式。同样的，高维空间的球谐函数也能如此。

　　为了分离变量，我们先试图将 $θ^{N}$ 提取出来。利用式 13 ，有

\begin{matrix} (17) & \sum_{i = 1}^{N - 1} h_{(N)}^{i} [(i - 1) \cot θ^{i} \frac{\partial W_{N}}{\partial θ^{i}} + \frac{\partial^{2} W_{N}}{\partial {θ^{i}}^{2}}] + h_{(N)}^{N} [(N - 1) \cot θ^{N} \frac{\partial W_{N}}{\partial θ^{N}} + \frac{\partial^{2} W_{N}}{\partial {θ^{N}}^{2}}] + λ_{N} W_{N} = 0. \end{matrix}

然而，由式 6 和式 11 ，

h_{(N)}^{i}

是关于

θ^{j}, i + 1 \leq j \leq N

的函数，为使得上式左边第一式不含

θ^{j}

，只要将

h_{(N)}^{i}

乘以

\sin^{2} θ^{j}

即可。因此，若定义

\begin{matrix} (18) & h_{(k - 1)}^{i} = \sin^{2} θ^{k} h_{(k)}^{i}, 1 \leq i \leq k - 1, 2 \leq k \leq N, \end{matrix}

则

h_{(N - 1)}^{i}

只依赖与

θ^{i + 1}, \dots, θ^{N - 1}

。利用式 18 的递推关系，可知，对于给定的

k

，

{h_{k}^{i}}

仅仅依赖于变量

(θ^{1}, \dots, θ^{k})

且

h_{(k)}^{k} = 1

，且

h_{(k)}^{k} = 1

。

　　现在，我们可以将式 17 写为

\begin{matrix} (19) & \sum_{i = 1}^{N - 1} \sin^{- 2} θ^{N} h_{(N - 1)}^{i} [(i - 1) \cot θ^{i} \frac{\partial W_{N}}{\partial θ^{i}} + \frac{\partial^{2} W_{N}}{\partial {θ^{i}}^{2}}] + h_{(N)}^{N} [(N - 1) \cot θ^{N} \frac{\partial W_{N}}{\partial θ^{N}} + \frac{\partial^{2} W_{N}}{\partial {θ^{N}}^{2}}] = - λ_{N} W_{N} . \end{matrix}

利用式 13 ，上式可写为

\begin{matrix} (20) & \sin^{- 2} θ^{N} Δ_{S^{N - 1}} W_{N} + [(N - 1) \cot θ^{N} \frac{\partial W_{N}}{\partial θ^{N}} + \frac{\partial^{2} W_{N}}{\partial {θ^{N}}^{2}}] = - λ_{N} W_{N} . \end{matrix}

显然，现在可以继续进行变量分离，令

\begin{matrix} (21) & W_{N} (θ^{1}, \dots, θ^{N}) = W_{N - 1} (θ^{1}, \dots, θ^{N - 1}) y_{N} (θ^{N}), \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (22) & - \frac{1}{W_{N - 1}} Δ_{S^{N - 1}} W_{N - 1} = \frac{\sin^{2} θ^{N}}{y_{N}} ((N - 1) \cot θ^{N} \frac{\partial y_{N}}{\partial θ^{N}} + \frac{\partial^{2} y_{N}}{\partial {θ^{N}}^{2}}) + λ_{N} \sin^{2} θ^{N} = λ_{N - 1} . \end{matrix}

其中

λ_{N - 1}

是一个新分离常数。因此，我们有下面方程

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} Δ_{S^{N - 1}} W_{N - 1} + λ_{N - 1} W_{N - 1} = 0, \\ ((N - 1) \cot θ^{N} \frac{\partial y_{N}}{\partial θ^{N}} + \frac{\partial^{2} y_{N}}{\partial {θ^{N}}^{2}}) + (λ_{N} - λ_{N - 1} \sin^{- 2} θ^{N}) y_{N} = 0. \end{aligned} \end{matrix}

注意第一个方程和回到了式 16 的形式，因此可以继续重复该过程。最终可以获得关于

W_{k} = W_{k} (θ_{1}, \dots, θ_{k})

的方程

\begin{matrix} (24) & Δ_{S^{k}} W_{k} + λ_{k} W_{k} = 0, 1 \leq k \leq N . \end{matrix}

和关于

y_{k} = y_{k} (θ_{k})

的方程：

\begin{matrix} (25) & \frac{\partial^{2} y_{k}}{\partial {θ^{k}}^{2}} + (k - 1) \cot θ^{k} \frac{\partial y_{k}}{\partial θ^{k}} + (λ_{k} - \frac{λ_{k - 1}}{\sin^{2} θ_{k}}) y_{k} = 0, 2 \leq k \leq N \end{matrix}

并且有一组

N

个变量的分离常数

{λ_{k}}

。注意在

k = 2

时，由式 21 ，我们有

\begin{matrix} (26) & W_{2} (θ^{1}, θ^{2}) = W_{1} (θ^{1}) y_{2} (θ^{2}) . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (27) & Δ_{S^{1}} W_{1} + λ_{1} W_{k} = 0. \end{matrix}

若令

y_{1} = W_{1}

，那么由式 21 就有

\begin{matrix} (28) & W_{N} (θ^{1}, \dots, θ^{N}) = y_{1} (θ^{1}) \dots y_{N} (θ^{N}) . \end{matrix}

因此，一般高维空间球谐函数可以写为关于每一角变量函数的乘积形式。