连带拉盖尔多项式
贡献者： addis
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连带拉盖尔多项式（associated Laguerre polynomial） $L_{n}^\alpha$ 是微分方程
\begin{equation}
xy'' + (\alpha + 1 - x) y' + ny = 0~
\end{equation}
普通的拉盖尔多项式为
\begin{equation}
L_n(x) = L_n^0(x)~.
\end{equation}
图 1：连带拉盖尔多项式 $L_n^k$（来自 Wikipedia）
递推关系
\begin{equation}
L_{n+1}^\alpha (x) = [(2n + 1 + \alpha - x)L_n^\alpha (x) - (n + \alpha )L_{n - 1}^\alpha (x)]/(n + 1)~,
\end{equation}
\begin{equation}
L_0^\alpha (x) = 1~,
\qquad
L_1^\alpha (x) = 1 + \alpha - x~.
\end{equation}
\begin{equation}
L_n^\alpha (x) = \frac{x^{-\alpha} \mathrm{e} ^x}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} ( \mathrm{e} ^{-x} x^{n+\alpha})~.
\end{equation}