贡献者： 叶月2_
注：本文参考 Jier Peter 的《代数学基础》。
几何代数有两种运算结构：依赖于二次型的标量积和与二次型无关的外代数形式。外同态既是线性空间的线性映射，亦是保外代数形式不变的同态映射（名副其实的外同态嘛）。
定义 1
给定域 $\mathbb F$ 上的几何代数 $\mathcal G(V,q)$，$\mathcal G(W,q)$，及线性映射 $f:V\rightarrow W$。称 $f_{\wedge}:\mathcal G(V,q)\rightarrow \mathcal G(W,p)$ 为外同态（outermorphism）或者 $\wedge$-同态，具有如下性质：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_\wedge(1)&=1,\\
f_\wedge|_V&=1,\\
f_\wedge(x\wedge y)&=f(x)\wedge f(y),\quad\forall x,y\in\mathcal G(V,q)~.
\end{aligned}
\end{equation}
一般几何代数之间的线性映射指的就是外同态1。
由第三条可知，外同态 $f_{\wedge}$ 取决于线性映射 $f$。由于 $f_{\wedge}|_V=f$，我们可得映射复合的外同态:$(g\circ f)_{\wedge}=g_{\wedge} \circ f_\wedge$。
线性空间的同态有矩阵表示，几何代数的外同态自然也有。
要导出矩阵表示，需要利用定义的三条性质。为了方便，我们在 $\mathbb R^3$ 下讨论。
由于外积与空间是否退化无关，不妨选取标准正交基 $\{e_i\}$。现在设 $\mathbb R^3$ 上有线性映射 $f$，对应矩阵表示如下：
\begin{equation}
F_b^a=\left(\begin{array}{lll}
a & b & c \\
d & e & f \\
h & i & j
\end{array}\right)~.
\end{equation}
第一列到第三列分别对应的标准正交基为 $e_1,e_2,e_3$。
与之对应，可以排列外积的 $basis$ 如下：
$$
\left\{e_{\varnothing}, e_{\{1\}}, e_{\{2\}}, e_{\{3\}}, e_{\{1,2\}}, e_{\{1,3\}}, e_{\{2,3\}}, e_{\{1,2,3\}}\right\}~.
$$
根据第三条，我们可以得到这组基对应的外同态矩阵表示为
\begin{equation}
F_B^A=\left(\begin{array}{cccccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a & b & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & d & e & f & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & h & i & j & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a e-b d & a f-c d & b f-c e & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a i-b h & a j-c h & b j-c i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & d i-e h & d j-f h & e j-f i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \operatorname{det} F_b^a
\end{array}\right) ~.
\end{equation}
具体计算以第五列为例,下标从小到大为排列的正方向：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_\wedge(e_1\wedge e_2)&=f(e_1)\wedge f(e_2)\\
&=(a e-b d)e_1 e_2+(a i-b h)e_1 e_3+ (d i-e h)e_2 e_3~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此每行每列的元素对应一个行列式。如果列的基为 a,b，行的基为 c,d，对应从 $F^a_b$ 矩阵里选第 a,b 列，c,d 行来求行列式。
从矩阵表示里，我们可以清楚看到外同态具有明显的分次结构，保外积使得矩阵为分块对角矩阵，每一块都是行标和列标同次的部分。
外同态的伴随
通过定义二次型，任何线性映射都可以导出其伴随映射。外同态是几何代数上的线性映射，本节证明，其导出的伴随映射亦是外同态。也就是说，假设 $f:V\rightarrow W$，$f_{\wedge}\,^*$ 保 $W$ 上的外积不变。更准确来说：$f_{\wedge}\,^*=f^*\,_{\wedge}$。
定理 1
给定线性映射：$f:V\rightarrow W$，令 $q,p$ 分别为 $V,W$ 上的非退化对称双线性形式，关于 $q,p$ 求线性映射的伴随映射 $f^*$。则
\begin{equation}
f_{\wedge}\,^*=f^*\,_{\wedge}~.
\end{equation}
proof.
回顾伴随映射的定义：设上述线性映射 $f$ 在这两组基下的矩阵为 $F^a_b$，伴随映射 $f^*$ 在这两组基下的矩阵为 $G^a_b$。那么我们有：$G^a_b =q^{ja}p_{ib}F^i_j$。如果二次型是标准的，上式简化为 $G^a_b=q(e_a)p(e_b)F^b_a$。
取标准正交基，使得二次型的对角元要么为 $1$，要么为 $-1$。那么求矩阵的伴随有两个过程：对部分元素取负及转置。因此该定理可以表述为：
"对 $F^a_b$ 生成外同态，取负，转置” 等同于 “对 $F^a_b$ 取负，转置，生成外同态”。
这里一共三个操作，所以证明思路包含两步：
1.证明对于同一线性映射，“生成外同态” 和 “取负” 操作可互换。2.证明对于同一线性映射，“生成外同态” 和 “转置” 操作可以互换。
第二步是非常好证明的。
引理 1
给定任意线性映射，矩阵表示为 $F^a_b$。如果 $G^a_b=F^b_a$，则 $G^A_B=F^B_A$。
proof.
对于外同态的一次部分，这是显然的。下面看其他分次部分。
由外同态表示可知，$G^A_B$ 是对一次部分的若干列（A 组列）和若干行（B 组行）求行列式得到。由于一次部分是转置的结果，因此对应原矩阵的 A 组行以及 B 组列，也即 $F^B_A$，得证。
接下来我们证明，“先生成外同态，再取负”“等同于先取负，再生成外同态”。
由于一次部分就是 $F^a_b$，因此互换没有影响。现在我们讨论其他次部分。
先求外同态，再取负，那么取负结果 $G'^A_B=q(e_A)p(e_B)G^A_B$。正如式 8 所提到的，$q(e_A)=e_Ae_A=
(-1)^{\frac{|A|(|A|-1)}{2}} \prod_{i \in A} q(e_i)$，是基向量组内积的结果。
外同态由分次结构构成，因此 $|A|=|B|$。则 $G'^A_B$ 的系数为
\begin{equation}
q(e_A)p(e_B)=\prod_{i \in A} q(e_i)\prod_{j \in B} p(e_j)~.
\end{equation}
接下来我们看先取负再求行列式的情况。
原矩阵的每一个元素 $F^i_j$ 都要乘以系数 $q(e_i)p(e_j)$，而 $G'^A_B$ 对应取 A 向量组为行，B 向量组为列后矩阵的行列式。由于行列式的每一项都遍历了行与列，因此有共同系数 $\prod_{i \in A} q(e_i)\prod_{j \in B} p(e_j)$，定理得证。
习题 1
给定几何代数 $\mathcal G(V,q)$，线性变换 $f:V\rightarrow V$ 保二次型不变。证明 $f^*=f^{-1}$，且对于任意 $x,y\in\mathcal G(V,q)$ 有 $f_{\wedge}(x)*f_{\wedge}(y)=x*y$
1. ^ 外同态一般不保 Clifford 积。因为 $f(ab)=a* b+f(a)\wedge f(b)$