外同态

                     

贡献者: 叶月2_

预备知识 伴随映射

   注:本文参考 Jier Peter 的《代数学基础》。

   几何代数有两种运算结构:依赖于二次型的标量积和与二次型无关的外代数形式。外同态既是线性空间的线性映射,亦是保外代数形式不变的同态映射(名副其实的外同态嘛)。

定义 1 

   给定域 $\mathbb F$ 上的几何代数 $\mathcal G(V,q)$,$\mathcal G(W,q)$,及线性映射 $f:V\rightarrow W$。称 $f_{\wedge}:\mathcal G(V,q)\rightarrow \mathcal G(W,p)$ 为外同态(outermorphism)或者 $\wedge$-同态,具有如下性质:

\begin{equation} \begin{aligned} f_\wedge(1)&=1,\\ f_\wedge|_V&=1,\\ f_\wedge(x\wedge y)&=f(x)\wedge f(y),\quad\forall x,y\in\mathcal G(V,q)~. \end{aligned} \end{equation}

   一般几何代数之间的线性映射指的就是外同态1。 由第三条可知,外同态 $f_{\wedge}$ 取决于线性映射 $f$。由于 $f_{\wedge}|_V=f$,我们可得映射复合的外同态:$(g\circ f)_{\wedge}=g_{\wedge} \circ f_\wedge$。

   线性空间的同态有矩阵表示,几何代数的外同态自然也有。 要导出矩阵表示,需要利用定义的三条性质。为了方便,我们在 $\mathbb R^3$ 下讨论。 由于外积与空间是否退化无关,不妨选取标准正交基 $\{e_i\}$。现在设 $\mathbb R^3$ 上有线性映射 $f$,对应矩阵表示如下:

\begin{equation} F_b^a=\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ h & i & j \end{array}\right)~. \end{equation}
第一列到第三列分别对应的标准正交基为 $e_1,e_2,e_3$。 与之对应,可以排列外积的 $basis$ 如下: $$ \left\{e_{\varnothing}, e_{\{1\}}, e_{\{2\}}, e_{\{3\}}, e_{\{1,2\}}, e_{\{1,3\}}, e_{\{2,3\}}, e_{\{1,2,3\}}\right\}~. $$ 根据第三条,我们可以得到这组基对应的外同态矩阵表示为

\begin{equation} F_B^A=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & b & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & e & f & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h & i & j & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a e-b d & a f-c d & b f-c e & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a i-b h & a j-c h & b j-c i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d i-e h & d j-f h & e j-f i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \operatorname{det} F_b^a \end{array}\right) ~. \end{equation}
具体计算以第五列为例,下标从小到大为排列的正方向:
\begin{equation} \begin{aligned} f_\wedge(e_1\wedge e_2)&=f(e_1)\wedge f(e_2)\\ &=(a e-b d)e_1 e_2+(a i-b h)e_1 e_3+ (d i-e h)e_2 e_3~. \end{aligned} \end{equation}
因此每行每列的元素对应一个行列式。如果列的基为 a,b,行的基为 c,d,对应从 $F^a_b$ 矩阵里选第 a,b 列,c,d 行来求行列式。

   从矩阵表示里,我们可以清楚看到外同态具有明显的分次结构,保外积使得矩阵为分块对角矩阵,每一块都是行标和列标同次的部分。

外同态的伴随

   通过定义二次型,任何线性映射都可以导出其伴随映射。外同态是几何代数上的线性映射,本节证明,其导出的伴随映射亦是外同态。也就是说,假设 $f:V\rightarrow W$,$f_{\wedge}\,^*$ 保 $W$ 上的外积不变。更准确来说:$f_{\wedge}\,^*=f^*\,_{\wedge}$。

定理 1 

   给定线性映射:$f:V\rightarrow W$,令 $q,p$ 分别为 $V,W$ 上的非退化对称双线性形式,关于 $q,p$ 求线性映射的伴随映射 $f^*$。则

\begin{equation} f_{\wedge}\,^*=f^*\,_{\wedge}~. \end{equation}

   proof. 回顾伴随映射的定义:设上述线性映射 $f$ 在这两组基下的矩阵为 $F^a_b$,伴随映射 $f^*$ 在这两组基下的矩阵为 $G^a_b$。那么我们有:$G^a_b =q^{ja}p_{ib}F^i_j$。如果二次型是标准的,上式简化为 $G^a_b=q(e_a)p(e_b)F^b_a$。 取标准正交基,使得二次型的对角元要么为 $1$,要么为 $-1$。那么求矩阵的伴随有两个过程:对部分元素取负及转置。因此该定理可以表述为:

   "对 $F^a_b$ 生成外同态,取负,转置” 等同于 “对 $F^a_b$ 取负,转置,生成外同态”。

   这里一共三个操作,所以证明思路包含两步:

   1.证明对于同一线性映射,“生成外同态” 和 “取负” 操作可互换。2.证明对于同一线性映射,“生成外同态” 和 “转置” 操作可以互换。

   第二步是非常好证明的。

引理 1 

   给定任意线性映射,矩阵表示为 $F^a_b$。如果 $G^a_b=F^b_a$,则 $G^A_B=F^B_A$。

   proof. 对于外同态的一次部分,这是显然的。下面看其他分次部分。 由外同态表示可知,$G^A_B$ 是对一次部分的若干列(A 组列)和若干行(B 组行)求行列式得到。由于一次部分是转置的结果,因此对应原矩阵的 A 组行以及 B 组列,也即 $F^B_A$,得证。

   接下来我们证明,“先生成外同态,再取负”“等同于先取负,再生成外同态”。 由于一次部分就是 $F^a_b$,因此互换没有影响。现在我们讨论其他次部分。

   先求外同态,再取负,那么取负结果 $G'^A_B=q(e_A)p(e_B)G^A_B$。正如式 8 所提到的,$q(e_A)=e_Ae_A= (-1)^{\frac{|A|(|A|-1)}{2}} \prod_{i \in A} q(e_i)$,是基向量组内积的结果。

   外同态由分次结构构成,因此 $|A|=|B|$。则 $G'^A_B$ 的系数为

\begin{equation} q(e_A)p(e_B)=\prod_{i \in A} q(e_i)\prod_{j \in B} p(e_j)~. \end{equation}

   接下来我们看先取负再求行列式的情况。 原矩阵的每一个元素 $F^i_j$ 都要乘以系数 $q(e_i)p(e_j)$,而 $G'^A_B$ 对应取 A 向量组为行,B 向量组为列后矩阵的行列式。由于行列式的每一项都遍历了行与列,因此有共同系数 $\prod_{i \in A} q(e_i)\prod_{j \in B} p(e_j)$,定理得证。

习题 1 

   给定几何代数 $\mathcal G(V,q)$,线性变换 $f:V\rightarrow V$ 保二次型不变。证明 $f^*=f^{-1}$,且对于任意 $x,y\in\mathcal G(V,q)$ 有 $f_{\wedge}(x)*f_{\wedge}(y)=x*y$


1. ^ 外同态一般不保 Clifford 积。因为 $f(ab)=a* b+f(a)\wedge f(b)$

                     

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